全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）
圆锥曲线中的最值、范围问题
考点一 构造函数求最值
x2y2
[典例] (优质试题·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞20)的离心率为2，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N―→―→两点，求F1M·F1N的最大值．
[解]
?
?1
(1)由题意，得?＝c，
sinθ＋cosθ??a＝b＋c，
2
2
2
2
2
c2e＝a＝2，
c＝1，??2
解得?a＝2，
??b2＝1，
x22
故椭圆C的标准方程为2＋y＝1. (2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记??2?2?M?1，?，N?1，－?，
2?2???
2?―2?―→?→?
∴F1M＝?2，?，F1N＝?2，－?，
2?2???―→―→7
故F1M·F1N＝2.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）
?y＝k?x－1?，由?x2
2＋y?2＝1
消去y得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 22
1＋2k1＋2k―→―→
又F1M＝(x1＋1，y1)，F1N＝(x2＋1，y2)， ―→―→则F1M·F1N＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2 ＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1) ＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2 2?k4－1?4k2－4k4＝2＋2＋1＋k2 2k＋12k＋17k2－12k＋1
22
4k2
2k2－2
＝7
＝2－
，
2?2k＋1?
2
9
7?―→―→?－1，?由k≥0，可得F1M·F1N∈. 2???7―→―→
综上，F1M·F1N的最大值为2.
[对点训练]
3?x2y2? (优质试题·湘潭调研)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点?1，2?，离心
??1
率为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．
全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）
??c1
解：(1)由题设得?＝，
a2??a＝b＋c，
2
2
2
19
2＋2＝1，a4b
a＝2，??
解得?b＝3，
??c＝1.
x2y2
故椭圆E的方程为4＋3＝1.
x2
(2)由(1)知，F(1,0)，A(2,0)，设直线CD的方程为x＝ky＋1，与椭圆方程4＋y222＝1联立得(3k＋4)y＋6ky－9＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 3
∴y1＋y2＝－
9
，yy＝－. 1222
3k＋43k＋46k
∴S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA 11
＝2×2×|y1|＋2×2×|y2| ＝|y1－y2|＝122
?y1＋y2?2－4y1y2
＝k2＋1
3k＋4
. 设t＝
k2＋1(t≥1)，
12t
12
则S四边形OCAD＝2＝. 3t＋13t＋1
t
11
∵当t≥1时，y＝3t＋t单调递增，∴3t＋t≥4(当t＝1时取等号)， ∴S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.
考点二 寻找不等关系解范围
x2y2
[典例] 已知点A，B分别为椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点