圆锥曲线中的最值、范围问题

全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)

圆锥曲线中的最值、范围问题

考点一 构造函数求最值

x2y2

[典例] (优质试题·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>20)的离心率为2,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ+ycos θ-1=0相切(θ为常数).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N―→―→两点,求F1M·F1N的最大值.

[解]

?

?1

(1)由题意,得?=c,

sinθ+cosθ??a=b+c,

2

2

2

2

2

c2e=a=2,

c=1,??2

解得?a=2,

??b2=1,

x22

故椭圆C的标准方程为2+y=1. (2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0).

①若直线l的斜率不存在,则直线l⊥x轴,直线l的方程为x=1,不妨记??2?2?M?1,?,N?1,-?,

2?2???

2?―2?―→?→?

∴F1M=?2,?,F1N=?2,-?,

2?2???―→―→7

故F1M·F1N=2.

②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),

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?y=k?x-1?,由?x2

2+y?2=1

消去y得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. 22

1+2k1+2k―→―→

又F1M=(x1+1,y1),F1N=(x2+1,y2), ―→―→则F1M·F1N=(x1+1)(x2+1)+y1y2 =(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)·k(x2-1) =(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2 2?k4-1?4k2-4k4=2+2+1+k2 2k+12k+17k2-12k+1

22

4k2

2k2-2

=7

=2-

2?2k+1?

2

9

7?―→―→?-1,?由k≥0,可得F1M·F1N∈. 2???7―→―→

综上,F1M·F1N的最大值为2.

[对点训练]

3?x2y2? (优质试题·湘潭调研)已知椭圆E:a2+b2=1(a>b>0)经过点?1,2?,离心

??1

率为2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设点A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).

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??c1

解:(1)由题设得?=,

a2??a=b+c,

2

2

2

19

2+2=1,a4b

a=2,??

解得?b=3,

??c=1.

x2y2

故椭圆E的方程为4+3=1.

x2

(2)由(1)知,F(1,0),A(2,0),设直线CD的方程为x=ky+1,与椭圆方程4+y222=1联立得(3k+4)y+6ky-9=0,设C(x1,y1),D(x2,y2), 3

∴y1+y2=-

9

,yy=-. 1222

3k+43k+46k

∴S四边形OCAD=S△OCA+S△ODA 11

=2×2×|y1|+2×2×|y2| =|y1-y2|=122

?y1+y2?2-4y1y2

=k2+1

3k+4

. 设t=

k2+1(t≥1),

12t

12

则S四边形OCAD=2=. 3t+13t+1

t

11

∵当t≥1时,y=3t+t单调递增,∴3t+t≥4(当t=1时取等号), ∴S四边形OCAD≤3(当k=0时取等号),即四边形OCAD面积的最大值为3.

考点二 寻找不等关系解范围

x2y2

[典例] 已知点A,B分别为椭圆E:a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点,点

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