莃高 等 代 数(上)(No. 8)
芁一、填空题(每小题1分, 共8分)
1．一非空复数集P为数域, 若其 包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭. 2． 设d(x)为f (x), g(x) 的一个最大公因式, 则d(x)与(f (x), g(x))的关系 倍数关系即d(x)＝k(f (x), g(x)) .
蚀
罿
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蒂3．设{i1,i2,…,in}={1,2,…, n},则?( i1i2…in)+ ?( inin?1…i1)= n(n?1) . 2
xa2虿4．设n≥2, a1,…,an两两不同, 则
...an
袇a1...a1x...a2的不同根为 a1, a2,…,an .
.........an...x5．设t1,…,tr两两不同, 则?i=(1,ti,…,tir?1), i=1,…, r线性 无关 . 6．若?可由?1,…,?r唯一表示, 则?1,…,?r线性 无关 . 7．设?1,…,?m为n维向量组, 且R (?1,…,?m)=n, 则n ≤ m. 8．若A为n级实对称阵且AA?= O, 则A= O .
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二、选择题(每小题1分, 共8分)
羂1． 对于“命题甲：将n(>1)级行列式D的主对角线上元素反号, 则行列式变为?D；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( B ) .
蕿 A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立
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袆C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立
螅 2．整系数多项式f (x)在Z不可约是f (x)在Q上不可约的( B ) 条件.
肁A. 充分 B. 充分必要 C. 必要 D. 既不充分也不必要 羈3．设D=|aij|n, Aij为aij的代数余子式, 则
A11D?A12...A1n
蚆A21A22...A2n...An1...An2.........Ann=( C ) .
A. D B . ?D C. Dn D. (?1)nD
螇4．下述中, 错误的是( D ) .
蒃A. 奇数次实系数多项式必有实根 B. 代数基本定理适用于复数域
蚂C. 任一数域包含Q D. 在P[x]中, f (x)g(x)= f (x)h(x)?g(x)=h(x)
5．设A, B为n级方阵, m?N, 则“命题甲：|?A|=?A；命题乙：(AB)m= AmBm”中正确的是( D ) .
薄A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立
薁C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立
肁6. 任n级矩阵A 与?A, 下述判断成立的是( B ) .
膇A. |A|=?|A| B. AX=0 与(?A)X=0同解
?1n?1
蚅C. 若A可逆, 则(?A)=(?1)A D. A反对称, -A反对称
羄 7． 向量组?1,…,?s线性无关?( C ) .
蒁A. 不含零向量 B. 存在向量不能由其余向量线性表出
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袈C. 每个向量均不能由其余向量表出 D. 与单位向量等价
蚇 8． 设A, B均为P上矩阵, 则由( A ) 不能断言A≌B.
肂A. R(A)= R(B) B. 存在可逆阵P与Q使A=PBQ
羀C. A与B均为n级可逆 D. A可经初等变换变成B
三、简要回答(每小题5分, 共20分) 蒄1．设f (x), g(x)?P[x], g(x)?0, 若f (x)= g(x)q(x)+r(x), 则 (f (x), g(x))=(f (x), r(x))成立吗？为什么？
2
蒅答: 不一定成立. 如：f (x)=6x, g(x)=2x, q(x)=3x, r(x)=0, (f (x), g(x))= x, (f (x), r(x))=x2.
蚈荿2． 设A????ab?2
?, 则当a,b,c,d满足何条件时, A=A?？ A=A？为什么？ ?cd??
答: 当b=c时, A是一个对称矩阵, 因此A=A?.当a+d=1或c=b=0且a, d?{0,1}
时, A=A2.直接根据矩阵相等的定义.
薆3．若?1,…,?s与?1,…,? s均相关, 则?1+?1,…,?s+? s相关吗？为什么？
薃答: 不一定. 如：?1=(0, 2, 0), ?2=(1, 0, 1), ?3=(2, 1, 2), ?1=(0, ?1, 0), ?2=( ?1, 0, 0), ?3=(?1, ?1, 0), 显然?1, ?2, ?3; ?1, ?2, ?3两组向量均相关, 但?1+?1, ?2+?2, ?3+?3是线性无关的.
蝿4．若A, B均为n级阵, 且A≌B, 则A与B的行向量组等价吗？为什么？
聿答：等价。因为A≌B, 所以存在可逆矩阵P, Q, 使得A=PBQ, 设A=(?1,…,?n)T, B=(?1,…, ?n)T, P=(pij), Q=(Q1, …, Qn), 则根据矩阵相等的定义得到
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