概率论与数理统计复习题
一．事件及其概率
1. 设A,B,C为三个事件，试写出下列事件的表达式：
(1) A,B,C都不发生；(2)A,B,C不都发生；(3)A,B,C至少有一个发生；(4)A,B,C至多有一个发生。 解：(1) ABC?A?B?C (2) ABC?A?B?C (3) A?B?C (4) BC?AC?AB
2. 设A,B为两相互独立的随机事件,P(A)?0.4,P(B)?0.6,求P(A?B),P(A?B),P(A|B)。
解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.76； P(A?B)?P(AB)?P(A)P(B)?0.16,P(A|B)?P(A)?0.4。 3. 设A,B互斥，P(A)?0.5，P(A?B)?0.9，求P(B),P(A?B)。
解：P(B)?P(A?B)?P(A)?0.4,P(A?B)?P(A)?0.5。 4. 设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(A|B)?0.5，求P(A?B),P(AB)。
解：P(AB)?P(B)P(A|B)?0.3,P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8, P(AB)?P(A?B)?P(A)? 2P(A?)B。0.5. 设A,B,C独立且P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.7,求P(A?B?C)。
解：P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?0.994。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率；
(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
211C42C4C68解：(1) P?2?；(2) P??。 2C1015C10157. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。
12C1C51解：P?。 ?3C10121
8. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。
1?0.8?0.8解：P?2?0.32。
19. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，
再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？
解：设A?“从甲袋中取出的是红球”，B? “从乙袋中取出的是红球”，则： P(A)?13,P(A?)441,P(B|A?)22,PB(?|A )517。 40, 由全概率公式得：
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、
85%、80%，求
(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；
(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？
解：(1) 设A1,A2,A3分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则
P(A,A1)?0.5P2(?)30.P43,A?()P0.B1,?(1A|)P0.B?A,295(| 5,P)3B0.?A,8(|)由全概率公式得P(B)??P(A)P(B|A)?0.895；
iii?1(2) P(A1|B)?P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.47595???。
P(B)P(B)0.895179二．一维随机变量及其数字特征
1. 已知X的概率密度函数f(x)??解：
?kx?1,?0,0?x?21??，求k,P?X??,EX。
else2???????21f(x)dx??(kx?1)dx?2k?2?1?k??,
022?1?2?1912??? P?X????1??x1??dx?，EX??x??x?1?dx?。
032?216?2???2?2. 设X~B(3,0.1)，求P?X?2?,P{X?1}。
2解：P{X?2}?C3(0.1)2(0.9)?0.027,P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.93?0.271。
3. 设三次独立随机试验中事件A出现的概率相同，已知事件A至少出现一次的概率为
验中出现的概率p。
解：三次试验中A出现的次数X~B(3,p)，由题意：
2
37，求A在一次试6400P{X?1}?1?P?X?0??1?C3p(1?p)3?1?(1?p)3?371?p?。 644?1000,x?1000?4. 某种灯管的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为f(x)??x2，
?else?0,(1) 求P{X?1500}；
(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。 解：(1) P{X?1500}??10002dx?；
1500x23??(2) 设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则Y~B?5,?，故
??2?3?2?1?232?1? P{Y?2}?1?P{Y?0}?P{Y?1}?1????5?????。
3?3?243?3?5. 设X~B(n,p),EX?1.6,DX?1.28,求n,p。
解：EX?np?1.6,DX?np(1?p)?1.28?n?8,p?0.2。 6. 设X~?(2)，求P{X?2},E(X2?2X?3)。
解：P{X?2}?1?3e?2，
22 E(X?2X?3)?E(X)?2EX?3??EX??DX?2EX?3?4?2?4?3?7。
2547. 设X~U[?1,6]，求P??4?X?2?。
?1?,解：f(x)??7??0,?1?x?6else，P??4?X?2???2?4f(x)dx??0dx???4?113dx?。 ?17728. 设X服从(?1,5)上的均匀分布，求方程t?Xt?1?0有实根的概率。
2?1?,解：f(x)??6??0,?1?x?5else2，P{??0}?P{X?4?0}??5211dx?。 629. 设X~U[1,3]，求EX,DX,E??1?X??。 ?1?x?3else3
?1(3?1)21?,解：EX?2,DX??,f(x)??2123??0,
?1,E??X3111??dx?ln3。 ??1x22?