第14练 导数与单调性
[内容精要] 利用导数研究函数的单调性是必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，其出题内容也多种多样，最根本的还是定义中提到的．单调性主要是由函数的导函数在某个区间上的符号来确定．
题型一 利用导数求函数的单调区间
1
例1 函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
2A．(－1,1] C．[1，＋∞)
B．(0,1] D．(0，＋∞)
破题切入点 求出函数的导函数f′(x)，根据定义解不等式f′(x)<0即可，求解时注意函数的定义域． 答案 B
解析 根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解． 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 1
又由y′＝x－≤0，解得0 x所以函数的单调递减区间为(0,1]． 题型二 已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围 例2 已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( ) A．1 B．2 C．0 D.2 破题切入点 函数f(x)在(0,1)上为减函数，g(x)在(1,2)上为增函数，利用导函数f′(x)≤0在[0,1]上恒成立，g′(x)≥0在[1,2]上恒成立解出两个a的取值范围，求出交集即可． 答案 B 解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数， a ∴≥1，得a≥2. 2 a 又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2) x - 1 - 上恒成立，有a≤2，∴a＝2. 题型三 与函数导数、单调性有关的图象问题 例3 已知函数y＝－xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象可能是( ) 破题切入点 先由y＝－xf′(x)的图象找出f′(x)的符号，再根据f′(x)的符号找出f(x)的大致图象． 答案 B 解析 由函数y＝－xf′(x)的图象知，x<－1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；－1 总结提高 (1)利用导数判断函数单调性的一般步骤： ①确定函数的定义域． ②求导函数f′(x)． ③若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f′(x)>0或f′(x)<0；若已知函数f(x)的单调性则转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解，一般是利用函数与方程思想，将字母分离出来． (2)利用导数解决函数单调性应注意的问题： ①单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，首先要求函数的定义域，因为函数求导之后，自变量的取值范围可能会发生变化． ②求可导函数的单调区间即为解不等式，若已知函数单调性求参数范围，转化为恒成立问题， - 2 - 注意验证所得参数范围的端点值． kk 1．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( ) x3A．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] 答案 A 2 k2x＋k 解析 由条件得h′(x)＝2＋2＝2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上 xx B．(2，＋∞) D．(－∞，2) 恒成立，所以k∈[－2，＋∞)． 1π 2．已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( ) 42 答案 A 1π1 解析 f(x)＝x2＋sin(＋x)＝x2＋cos x， 4241 f′(x)＝x－sin x. 2 易知该函数为奇函数，所以排除B、D. ππ1πππ1 当x＝时，f′()＝×－sin ＝－<0，可排除C.选A. 66266122 3．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是( ) A．af(b)>bf(a) C．af(a) 解析 令F(x)＝xf(x)， 则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由xf′(x)>－f(x)， 得xf′(x)＋f(x)>0， - 3 - B．af(a)>bf(b) D．af(b)