故f?x?在?0,??上的最大值为2，最小值为－1……………………6分 2??f（Ⅱ）由??f?????cos??1?2asin???0???0?，得?………………8分 ?2?2??2asin??sin??a?1????1?a??1?又????,?知cos??0解得??．………………12分
????22??6?考点：f?x??Asin??x???的综合应用
????e2119.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题知f(e)?lne?2?a?，解得a?0…2分
2e2（Ⅱ）由题可知函数f(x)的定义域为(0,??)，
1xe2?x2(e?x)(e?x)又f(x)??2?……………………4分 ?22xeexex(e?x)(e?x)(e?x)(e?x)0?x?e由得；?0?0得x?e； 22exex故函数f(x)单调增区间为(0,e)，单调减区间为(e,??)…………………………7分
'x2（Ⅲ）因为f(x)?lnx?2，由（1）知函数f(x)的单调减区间为(e,??)，故f(x)2e2在[e,e]上单调递减，
e211?f(x)max?f(e)?lne?2?1??；…………………………8分
2e22e4e222f(x)min?f(e)?lne?2?2?； ……………………9分
2e21e2e2?3 ?f(x)max?f(x)min??(2?)?222e2?3?f(x)max?f(x)min??3①………………11分
2依题意任取x1,x2?[e,e2]，欲证明f(x1)?f(x2)?3，只需要证明
f(x)max?f(x)min?3，
由①可知此式成立，所以原命题得证．………………12分
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求最值；3.利用导数证明不等式． 20.【解析】（Ⅰ）∵cosAcosC?sinAsinC?cosB?∴2sinAsinC?3, 23,………………2分 2又∵b2?ac?sin2B?sinAsinC………………4分
3∴2sin2B?而a,b,c成等比数列，所以b不是最大
2故B为锐角，所以B?600…………………………6分
ac2bacosAccosC2bcosB（Ⅱ）由，则，……8分 ????tanAtanCtanBsinAsinCsinB
所以cosA?cosC?2cosB?1， 又因为A?C?2??所以A?C?………………………………10分 33所以，三角形ABC是等边三角形.………………12分
考点：1.三角函数基本公式；2.同角间三角函数关系；3.正弦定理解三角形 21.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题意可知，f(x)?ax?上恒成立，…………2分
令t?x?1?x?1在[?1,??)x?1，则t?0，代入得a(t2?1)?t?t2?2在[0,??)上恒成立，即
a(t?1)(t?1)?(t?2)(t?1)，即a(t?1)?t?2对t?0恒成立，即(a?1)t?2?a?0在[0,??)上恒成立，………………………………4分
此时，只需a?1?0且2?a?0，所以有1?a?2.……………………6分（Ⅱ）
422（II）依题意：h(x)?x??f(x)?x?1?(x?1)?bx?1?0在(0,??)上有解，
??a11即x2?ax??b?2?0，令t?x?，则t?2，代入得方程t2?at?b?2?0在
xxx[2,??)上有解，………………………………8分
2设g(t)?t?at?b?2（t?2），
a当??2，即a??4时，只需??a2?4b?8?0，a2?b2的几何意义就是表示点
2(a,b)到原点(0,0)距离的平方，在此条件下，有a2?b2?16；………………10分
a当??2，即?4?a时，只需g(2)?0，即22?2a?b?2?0，即2a?b?2?0，
24在此条件下，有a2?b2?. a2?b2的几何意义就是表示点(a,b)到原点(0,0)距离的平方，
54所以，a2?b2的最小值为.……………………12分
5'22.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）f?x??2a?x?1?ln?x?1??a?x?1??b，
22?f'?0??高三数学（理）第二次质量检查试卷答案a?b?0，f?e?1??ae2?b?e?1??a e?第?3e页 1共?4e页 ? e ? 1 ， ?a?1，b??1……2分
22（Ⅱ）f?x???x?1?ln?x?1??x，设g?x???x?1?ln?x?1??x?x2，?x?0?，
??则g?x??2?x?1?ln?x?1??x，?g'?x???2ln?x?1??1?0，…………4分
''?g'?x?在?0,???上单调递增，?g'?x??g'?0??0，?g?x?在?0,???上单调递增， ?g?x??g?0??0．?f(x)?x2．………………6分
2（Ⅲ）设h?x???x?1?ln?x?1??x?mx2，?h??x??2?x?1?ln?x?1??x?2mx，
由（Ⅱ）中知
，
，
?h'?x??3x?2mx，………………8分
3'①当3-2m?0，即m?时，h?x??0，?h?x?在?0,???单调递增，
2?h?x??h?0??0，成立．………………10分
3'②当3?2m?0，即m?时，h?x??2?x?1?ln?x?1???1?2m?x，
2h\?x??2ln?x?1??3?2m，令h\?x??0，得x0?e2m -32?1?0，
?h?x??h?0??0，不成立．
3综上，m?．………………12分
2当x??0,x0?时，h'?x??h'?0??0，?h?x?在?0,x0?上单调递减，
考点：（1）导数的运算及其几何意义；（2）利用导数求函数的最值及分类讨论思想的应用；（3）构造函数的应用，注意小步设问寻找解决问题的突破口。