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第三章 三角恒等变换
1.三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角
3?π??5π－α?的值.
例1.已知cos?＋α?＝，求cos??
?6?3?6?ππ5π
分析.将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系.
666
?π??5π－α?＝π，
解.∵?＋α?＋??
?6??6?
∴
5π?π－α＝π－?＋α6?6
?.
??
∴cos?
?5π－α?＝cos?π－?π＋α??
???6??
?6?????
?＝－3.
?3?
sin 3α
sin α
13
，则5
3?π??5π
＝－cos?＋α?＝－，即cos?－α
3?6??6二、利用目标中的角表示条件中的角 例
2.设
α
为第四象限角，若＝tan 2α＝
_______________________________.
分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，sin 3α13
代入到＝中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan
sin α52α.
sin 3αsin?2α＋α?sin 2αcos α＋cos 2αsin α
解析.由＝＝ sin αsin αsin α132
＝2cosα＋cos 2α＝.
5
1342
∵2cosα＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝.∴cos 2α＝. 553π
∵α为第四象限角，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，
2∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，
......
......
∴2α可能在第三、四象限， 4
又∵cos 2α＝，∴2α在第四象限，
533
∴sin 2α＝－，tan 2α＝－.
543
答案.－
4
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 πcos 2x?π?5
例3.已知sin?－x?＝，0 4π?4?13??cos?＋x? ?4? ?π?分析.转化为已知角?－x?的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式 ?4??π?子化简，使其出现?－x?这个角的三角函数. ?4??π??π??π?sin?＋2x?2sin?＋x?cos?＋x??2??4??4? 解.原式＝＝ ππ????cos?＋x?cos?＋x??4??4? ＝2sin? ?π＋x?＝2cos?π－x?， ??4??4??? ππ?π?5?π?∵sin?－x?＝，且0 4?44?4?13? ?π?∴cos?－x?＝ ?4??122?π 1－sin?－x?＝， ?4?13 1224 ∴原式＝2×＝. 1313 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 1－3 例4.求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值. 2 分析.观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x). 1－3 解.f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°] 2 13 ＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos 60°＋sin(x－20°)sin 60° 2212 ＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)， 22 ...... ...... 当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值 2.三角恒等变换的几个技巧 2. 2 三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 3－sin 70°例1 ＝________. 2 2－cos10° 3－sin 70°3－sin 70°3－cos 20°解析.＝＝＝2. 22－cos10°1＋cos 20°3－cos 20° 2－ 22答案.2 点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sinθ＋cosθ＝1进行降幂：如144222222 cosθ＋sinθ＝(cosθ＋sinθ)－2cosθsinθ＝1－sin2θ，等等. 2二、化平方式 例2 化简求值： 11－ 22 113π ＋cos 2α(α∈(，2π)). 222 2 2 3πα3π 解.因为α∈(，2π)，所以∈(，π)，所以cos α>0， 224α sin>0，故原式＝ 2 11－ 22 1＋cos 2α ＝ 2 11 －cos α＝ 22 sin 2 αα＝sin. 22 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cosα、2sinα、(sin α＋cos α)、(sin α－cos α). 三、灵活变角 π12π 例3 已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝________. 633 2π1272π2π 解析.cos(＋2α)＝2cos(＋α)－1＝2sin(－α)－1＝2×()－1＝－. 336397 答案.－ 9 点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“于发现前者和后者的一半互余. ...... 2 2 2 2 π2π－α”表示待求角“＋2α”，善63 ...... 四、构造齐次弦式比，由切求弦 1cos 2θ 例4 已知tan θ＝－，则的值是________. 21＋sin 2θcos 2θcosθ－sinθ 解析.＝2 2 1＋sin 2θcosθ＋sinθ＋2sin θcos θ3 2 41－tanθ ＝＝＝＝3. 2 1＋tanθ＋2tan θ111 1＋＋2×?－?424答案.3 cos 2θ 点评.解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin θ和cos 1＋sin 2θθ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘 以2sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2π2π3π4π5π 例5 求cos cos cos cos cos 的值. 1111111111π2π4π8π5π 解.原式＝－cos cos cos cos cos 1111111111ππ2π4π8π5π4 －2sin cos cos cos cos cos 111111111111 ＝ π4 2sin 1116π5π5π5π110π－sin cos sin cos ·sin 11111111211 ＝＝＝ πππ444 2sin 2sin 2sin 111111π sin 111 ＝＝. π325 2sin 11 点评.这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可. 3.聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解 sinx＋cosx＋sinxcosx例1.求函数f(x)＝的最值. 2－sin 2x4 4 2 2 2 2 11－4 nn－1 ·α的值 ...... ...... ?sinx＋cosx?－sinxcosx解.原函数变形得f(x)＝ 2－sin 2x112?1－1sin 2x?1－sin2x?1＋sin 2x?????4?2??2?＝＝ 2－sin 2x1??2?1－sin 2x? ?2?1131 ＝sin 2x＋.∴f(x)max＝，f(x)min＝. 4244 例2.求函数y＝sinx＋2sin xcos x＋3cosx的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 解.原函数化简得y＝sin 2x＋cos 2x＋2 π??＝2sin?2x＋?＋2. 4?? π35 当2x＋＝2kπ＋π，k∈Z，即x＝kπ＋π，k∈Z时，ymin＝2－2. 4285 此时x的集合为{x|x＝kπ＋π，k∈Z}. 8 点评.形如y＝asinωx＋bsin ωxcos ωx＋ccosωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(2ωx＋φ)＋B的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 2sin x＋1 例3.求函数y＝的值域. 2sin x－1 2 2 2 2 22222 y＋1 解.原函数整理得sin x＝. 2?y－1? ∵|sin x|≤1，∴? ?y＋1?≤1，解出y≤1或y≥3. ?3?2?y－1?? 1 ∴函数的值域为{y|y≤或y≥3}. 3sin x＋3 例4.求函数y＝的值域. cos x－4 解.原函数整理得sin x－ycos x＝－4y－3， －4y－32∴y＋1sin(x＋φ)＝－4y－3，∴sin(x＋φ)＝. 2 1＋y∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式?－12－26－12＋26 ≤y≤. 1515点评.对于形如y＝界性去求最值. ...... ?－4y－3? 2?≤1得 ?1＋y? asin x＋basin x＋b或y＝的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有 csin x＋dccos x＋d