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课时跟踪检测(十) 对数与对数函数
一、题点全面练
1.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0,且a≠1)的反函数,且f(2)＝1,则f(x)＝( ) A.log2x 1C.logx
2
1B.x 2D.2x2
－
试题解析：选A 由题意知f(x)＝logax(a＞0,且a≠1), ∵f(2)＝1,∴loga2＝1,∴a＝2. ∴f(x)＝log2x.
2.如果log1x＜log1y＜0,那么( )
22A.y＜x＜1 C.1＜x＜y
22B.x＜y＜1 D.1＜y＜x
2试题解析：选D ∵log1x＜log1y＜log11,∴x＞y＞1.
3.(2019·新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1,则a,b,c的大小关系是( )
A.a＞b＞c C.a＞c＞b
B.b＞a＞c D.b＞c＞a
试题解析：选D 由log2(log3a)＝1,可得log3a＝2,故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1,可得log4b＝3,故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1,可得log2c＝4,故c＝24＝16.∴b＞c＞a.故选D.
4.(2019·郑州模拟)设a＝log50.5,b＝log20.3,c＝log0.32,则a,b,c的大小关系是( ) A.b＜a＜c C.c＜b＜a
B.b＜c＜a D.a＜b＜c
10试题解析：选B a＝log50.5＞log50.2＝－1,b＝log20.3＜log20.5＝－1,c＝log0.32＞log0.3
3＝－1,log0.32＝
lg 2lg 0.5lg 2lg 2lg 2lg 2
,log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0,∴＜,lg 0.3lg 5－lg 5lg 0.2lg 0.3lg 0.2
即c＜a,故b＜c＜a.故选B.
5.(2019·长春模拟)已知对数函数f(x)＝logax是增函数,则函数f(|x|＋1)的图象大致是( )
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试题解析：选B 由函数f(x)＝logax是增函数知,a＞1.f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝
??loga?x＋1?，x≥0，?由对数函数图象知选B. ?loga[－?x－1?]，x＜0.?
6.(2018·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x),则( ) A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数 B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数 C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数 D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数
??10＋x＞0，
试题解析：选D 由?得x∈(－10,10),故函数f(x)的定义域为(－10,10),关
?10－x＞0，?
于原点对称.由于f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x),故函数f(x)为偶函数.而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2),y＝100－x2在(0,10)上递减,y＝lg x在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
11
7.(2018·郑州月考)已知2x＝72y＝A,且x＋y＝2,则A的值是________.
11112试题解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A,y＝log7A,则＋＝＋＝logA2＋2logA7
xylog2Alog7A2＝logA98＝2,A2＝98.
又A＞0,故A＝98＝72. 答案：72
8.已知函数f(x)＝|log 3x|,实数m,n满足0＜m＜n,且f(m)＝f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大n
值为2,则＝________.
m
??－log3x，0＜x＜1，
试题解析：因为f(x)＝|log3x|＝?所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,
?log3x，x≥1，?
0＜m＜1，??
＋∞)上单调递增,由0＜m＜n且f(m)＝f(n),可得?n＞1，
??log3n＝－log3m，
0＜m＜1，??
则?n＞1，??mn＝1，
所以
0＜m2＜m＜1,则f(x)在[m2,1)上单调递减,在(1,n]上单调递增,所以f(m2)＞f(m)＝f(n),则f(x)
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n1
在[m2,n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2,解得m＝,则n＝3,所以＝9.
m3
答案：9
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)＝loga(x＋1)(a＞0,且a≠1). (1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1＜f(1)＜1,求实数a的取值范围. 解：(1)当x＜0时,－x＞0, 由题意知f(－x)＝loga(－x＋1),
又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(－x)＝f(x). ∴当x＜0时,f(x)＝loga(－x＋1),
??loga?x＋1?，x≥0，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝?
?loga?－x＋1?，x＜0.?
(2)∵－1＜f(1)＜1,∴－1＜loga2＜1, 1
∴logaa＜loga2＜logaa.
1??a＜2，
①当a＞1时,原不等式等价于?解得a＞2；
??a＞2，1??a＞2，
②当0＜a＜1时,原不等式等价于?
??a＜2，1
解得0＜a＜. 2
1
0，?∪(2,＋∞). 综上,实数a的取值范围为??2?10.已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1？如果存在,试求出a的值；如果不存在,请说明理由.
解：(1)∵a＞0且a≠1,设t(x)＝3－ax,则t(x)＝3－ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3－2a,
∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3－ax＞0恒成立. 3
∴3－2a＞0,∴a＜.
2
3
又a＞0且a≠1,∴0＜a＜1或1＜a＜, 231，?. ∴实数a的取值范围为(0,1)∪??2?