t(年份x-2 015) z(年需求量y-257) 对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2,
-4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29 =
=
==6.5,
=-=3.2.
故=6.5t+3.2.
由上述计算结果,知所求回归直线方程为
-257=6.5(x-2 015)+3.2.
即=6.5(x-2 015)+260.2.
(2)利用所求直线方程,可预测该地2021年的粮食需求量为6.5× (2 021-2 015)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨). 19.(本小题满分12分)
某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,其可见部分如图①②所示,据此解答以下问题:
(1)求高三(1)班全体女生的人数;
(2)求分数在[80,90)之间的女生人数,并计算频率分布直方图中 [80,90)之间的矩形的高.
解:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,
由频率分布直方图知,分数在[50,60)之间的频率为0.008×10=0.08, 所以高三(1)班全体女生人数为
=25(人).
(2)茎叶图中可见部分共有21人, 所以[80,90)之间的女生人数为25-21=4, 所以分数在[80,90)之间的频率为=0.16,
所以频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高为20.(本小题满分12分)
=0.016.
某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度 评分 分组 频数 2 8 14 10 6 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可). 解:B地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
21.(本小题满分12分)
某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位:万元)的数据如下表:
年份 年份代号t 人均纯收入y 2012 1 2.9 2013 2 3.3 2014 3 3.6 2015 4 4.4 2016 5 4.8 2017 6 5.2 2018 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
=,=-.
解:(1)由所给数据计算得 =(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)=9+4+1+0+1+4+9=28,
2
(ti-)(yi-)
=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
所以===0.5,
=-=4.3-0.5×4=2.3,
所求线性回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由(1)知,=0.5>0,故2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5万元.
将2022年的年份代号t=11代入(1)中的回归方程,得
=0.5×11+2.3=7.8,
故预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为7.8万元. 22.(本小题满分12分)
已知某池塘养殖鲤鱼和鲫鱼,为了估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数目,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,并将记录获取的数据制作成如图甲所示的茎叶图.
(1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量; (2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重鱼的质量介于[0,4.5](单位:千克)之间,将测量结果按如下方式分成九组;第一
组[0,0.5),第二组[0.5,1),…第九组[4,4.5].如图乙是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
①估计池塘鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数;
②若第三组鱼的条数比第二组多7条,第四组鱼的条数也比第三组多7条,请将频率分布直方图补充完整;
③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.
解:(1)根据茎叶图可知,鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80,20. 由题意知,池塘中鱼的总数目为1 000÷
=20 000(条).
故估计鲤鱼数目为20 000×=16 000(条),
鲫鱼数目为20 000-16 000=4 000(条).
(2)①根据题意,结合直方图可知,池塘中鱼的质量在 3千克以上(含3千克)的条数约为20 000×(0.12+0.08+0.04)×0.5=2 400(条).
②设第二组鱼的条数为x,则第三、四组鱼的条数分别为x+7,x+14,则有x+x+7+x+14=100×(1-0.55),解得x=8.
故第二、三、四组的频率分别为0.08,0.15,0.22,它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16,0.30,0.44,据此可将频率分布直方图补充完整,如图所示.
③众数为2.25千克,
平均数为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02= 2.02(千克),
所以鱼的总质量为2.02×20 000=40 400(千克).