专题4.4 立体几何中最值问题
一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，考时加强关注与训练．比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备 拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一 距离最值问题
【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB?2，若线段DE上存在点P使得GP?BP，则边CG长度的最小值为（ ）
A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
1
（2，2，0），G（0，2，a）又B，所以BP??x?2,?2,PBPG? x?x?2??4???ax?ax??,GP?x,?2,?a???. 2?2??16ax?ax?2x?0x?2a??4. .显然且.所以?a?0??22x?x2?2?2因为x??0,2?，所以2x?x??0,1.所以当2x?x2?1， a2取得最小值12.所以a的最小值为23. 故选D.
【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG长度为a及点P的坐标，求BP与GP的坐标，
2a?根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式
?16?4 2x?x2，利用函数求其最值。
举一反三
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。
?325?【答案】 ?,?
42??∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，∴点P必在线段MN上。
2
在Rt△A1B1M中， A1M?5?1?A1B12?B1M2?1????，
22??同理在Rt△A1B1N中，可求得A1N?5，∴△A1MN为等腰三角形， 2当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，
?5??2?3222又AO. ?AM?OM???????11?2??4?4????所以线段A1P长度的取值范围是?22?325?,?． 2??42、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a的正方体
,E和F分别是体对角线
和棱
上的动点,则
的最小值为（ ）
A. B. C. a D.
【答案】B
3、如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A E为棱CC1的中点，点P,Q分别为面A1B1C1D11BC11D1中，和线段BC1上的动点，则?PEQ周长的最小值为_______．
3