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第六章 线性空间
.证 设 明： 。
1 M N , M N M , M N N
N , N , 所 证 任 M , 由 M 得 以 M N , 即 证 M N M 。 又 因 取 M N
M , 故 M
M 。再证第二式，任N 取 N , 此即。但 N
M
或
N , 但 M
N , 因此无论
哪 一种情形，都有 M N , 所以 M N N 。
2.证明 M ( N
(M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。 L )
证 x M (N
L), 则 x
L. 在后一情形， 于是
M N或 x M L. M 且 x N x
N ) (M L ) 。反之，若
所以 x (M N ) (M L) ，由此得 M ( N L) (M x (M
N ) ( M L) ，则 x M
N或 M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x
M ( N L ), 在 后 一 情 形 ， 因 而
x N L. 故 得 x x M , x L, x N L ， 得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x
（ M N
L），则 x
M ， N L 。 x 且 X M
L，因而 x （ M
N）（ M
L）。
在前一情形 X x N
， M
,x 且 在后一情形， x ，即 X （ M N）（M L）所以 因而
N L, x M N , X M L
（ M N）（M L） M （N L）
L） =（ ）（M L） 故 （
M N M N 即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于 n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（ a1 ，b1）（ a
b （ a1 a2，b1 b2 a1 a2 ）
（kk 1） 2
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k。（ a1， b1） =（ ka1，kb1+
2
a1
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6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k a 0 ； 7） 集合与加法同 6），数量乘法定义为：
k a a ；
8） 全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为： ab ， k
a b a ak ；
解 1）否。因n 次多项式相加不一n 次多项式，例两个 定是 如
（ xn 5）（ xn 2） 3 。 2）令 （A ） |f（ x）为实数多项式， A 是 n× V={f n 实矩阵 }
因为
f（ x） +g（ x） =h（ x）， kf （ x） =d（ x） 所以
f （ A ） +g（A ）=h（ A）， kf （ A ） =d（ A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条，故 v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三
角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当 A ， B 为反对称矩阵， k 为任意一实数时，有
（ A+B） =A+B =-A-B=- （ A+B）， A+B 仍是反对称矩阵。 （ K A） K A （K ）A （ ）K，A所以 kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足， （0，0）是零元，任意（ a， b）的负元是 2
（-a， a -b）。对于数乘：
。（ ， ）（。 ，。 1(1 1) 2
a ) (a, b), 1 a b 1 a 1 b
2 k.(l .(a, b) k.(la , (kla ,k[ll lb l (l 1) a2 ) b (l 1) a2] k (k 1) (la)2 ) 2 2 2
(la ) (kla, k[lb l (l 1) a2 ] k (k 1) (la)2 ) (kla, kl ( kl 1) a2 k( k 1) 2 ) 2 2 2 2 (kla, kl (kl 1) a2 klb) (kl ).(a, b), 2 (l ).( a, k b) [( k l ) a, ( k l )(k l 1) a2 2 k.(a,b
l )b(k ]
1) a2
l .(a,b) (ka, kb k( k 1) a2 ) (la,lb l