MATLAB 简介
1 MATLAB简介
1.1 MATLAB语言功能
MATLAB是一个高精度的科学计算语言，它将计算、可视化编程结合在一个容易使用的环境中，在这个环境中，用户可以把提出的问题和解决问题的办法用熟悉的数学符号表示出来，它的典型使用包括：
（1）数学和计算； （2）运算法则； （3）建模、仿真；
（4）数值分析、研究和可视化； （5）科学的工程图形；
（6）应用程序开发，包括创建图形用户接口。 1.2 MATLAB语言特点
MATLAB 是一个交互式系统，他的基本数据单元是数组，这个数组不要求固定的大小，因此可以让用户解决许多技术上的问题，特别是那些包含矩阵和矢量运算的问题。MATLAB的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式相似，与C、Fortran、等高级语言相比，它的语法规则更简单、表达更符合工程习惯，正因为如此，人们用MATLAB语言编写程序就犹如在便笺上书写公式和求解，因而MATLAB被称为“便笺式”的科学工程语言。
MATLAB的最重要特征使他拥有解决特定应用问题的程序组，也就是TOOLBOX(工具箱)，如信号处理工具箱，控制系统工具箱、神经网络工具箱、模糊逻辑工具箱、通信工具箱和数据采集工具箱等许多专用工具箱，对大多数用户来说，要想灵活、高效地运用这些工具箱，通常都需要学习相应的专业知识。
此外，开放性也许是MATLA最重要和最受欢迎的特点之一。除内部函数外，所有的MATLAB主要文件和各工具箱文件都是可读的、可改的源文件，因为工具箱实际上是有一组复杂的MATLAB函数（M文件）组成，它扩展了MATLAB的功能，用以解决待定的问题，因此用户可以通过对源文件进行修改和加入自己编写的文件去构建新的专用工具箱。
2
连续时间周期信号的傅里叶级数
2 连续时间周期信号的傅里叶级数
频域分析法即傅里叶分析法，它是变换域分析法的基石。其中，傅里叶级数是变换域分析法的理论基础，傅里叶变换作为频域分析法的重要数学工具，具有明确的物理意义，在不同的领域得到广泛的应用 2.1 连续时间周期信号的分解
以高等数学的知识，任何周期为T的周期函数f(t)，在满足狄里赫利条件时，则该周期信号可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。 2.1.1 三角形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数为：
f(t)?[2]
a020?a1cos(?t)?a2cos(?t)?a3cos(?t)????b1sin(?t)?b2sin(?t)?????nn?a??acos(n?t)??bsin(n?t)2n?1n?1n?1,2,3??(2?1)
式中系数an、bn称为傅里叶系数，可由下式求得。
1T2a0??Tf?t?dtT?22T2an??Tf?t?cos?n?t?dt ?2?2?
T?22T2bn??Tf?t?sin?n?t?dtT?2??2?T为基波频率,n?为n次谐波频率。如果将?2?1?式中同频率的正弦和余
其中，
弦分量合并，则三角形式的傅里叶级数可表示为：
A0???, ? ?2?3? f?t????Ancos?n?t??n? n?1,2,32n?1??A0?a0??22上式中 An?an?bn,n?1,2,???? ?2?4?
?an??n??arctanbn??3
连续时间周期信号的傅里叶级数
??an?Ancos?n,n?1,2,????
?bn??Ansin?n?a0?A0可以看出，傅里叶系数an和bn都是n或?n??的函数，其中an和An是n或?n??的偶函数，即有a?n?an；而bn和?n是n或?n??的奇函数，即有b?n??bn。 2.1.2 指数形式的傅里叶级数 根据欧拉公式：
1cos(n?t??n)?[ej(n?t??n)?e?j(n?t??n)]2
?2?5?
并考虑An和?n奇偶性可将?2?3?改写为指数形式的傅里叶级数：
f?t??n????Fen?jn?t,n?0,?1,?2,?3,??? (2?6)
即周期信号可分解为一系列不同频率的虚指数信号之和，式中Fn称为傅里叶复系数，可由下式求得：
1T2Fn??Tf?t?e?jn?tdt ?2?7?
T?22.2 连续时间周期信号的傅里叶综合
任何满足狄里赫里条件的周期信号，可以表示成式?2?1?或?2?6?的和式形式，?2?1?或?2?6?式常称为连续周期信号的傅里叶级数综合公式。
一般来说，傅里叶级数系数有无限个非零值，即任何具有有限个间断点的周期信号都一定有一个无限项非零系数的傅里叶级数表示。但对数值计算来说，这是无法实现的。在实际的应用中，但我们可以用有限项的傅里叶级数求和来逼近。
4
连续时间周期信号的傅里叶级数
为了比较有限项谐波的逼近情况，本次课设编写了程序来绘制波形以给读者一个直观的感受。调用xiebo.m函数文件，即可绘出周期矩形波信号各次谐波的合成波形。如图2.1所示。
基波0.60.40.20-0.2-51.510.50-0.5-501基波+2次谐波0.50基波+2次谐波+3次谐波5-0.5-505基波+2次谐波+3次谐波+6次谐波1.510.50-0.5-50505
图2.1 周期矩形脉冲信号的合成
由图2.1可见，当它所包含的谐波分量越多时，合成波形愈接近于原来的矩形波脉冲（。由图2.1还可以看到，合成波形所包含的谐波分量愈多时，除间断点附近外，它越接近于原矩形波脉冲。在间断点附近，随着所含谐波次数的增加，合成波形的尖峰愈接近间断点，但尖峰幅度并未明显减少。可以证明，即使合成波形所含谐波次数n??时，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯（Gibbs）现象。在傅里叶级数的项数取得很大时，间断点处尖峰下的面积非常小以致趋近于零，因而在均方的意义上合成波形同原波形的真值之间没有区别[4]。 2.3吉布斯现象
上一节中我们提到了吉布斯现象，本节我们将作重点来讨论。我们知道满足狄里赫利条件的周期函数表示成的傅立叶级数都收敛。狄里赫利条件如下：
5
连续时间周期信号的傅里叶级数
1. 在任何周期内，x(t)必须绝对可积；
2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
所谓的吉布斯现象就是：在x(t)的不可导点上，如果我们只取x(t)等式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏[1]。
具体现象如下图所示，以下分别为谐波次数为N=50，N=100，N=500合成波的情况。
谐波次数N=50时的合成波形10.50-210.50-210.50-2-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.52谐波次数N=500时的合成波形-1.5-1-0.500.511.52谐波次数N=100时的合成波形
图2.2 不同时N值时的合成波
从上面的图像中可以看出，当N=500的时候，合成波与原来的方波拟合得非常好，但是在不可导的点上，即为x=-1.5,x=-0.5,x=0.5,x=1.5这样的点的时候，合成波会有较大的波动，这就是非常明显的吉布斯现象。
6