1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 函数F(x)??x1(2?1)dt(x?0)的单调减少区间为______________. t?3x2?2y2?12,(2) 由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧
?z?0的单位法向量为______________.
(3) 设函数f(x)??x?x(???x??)的傅里叶级数展开式为
2a0???(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的值为______________. 2n?1(4) 设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)?______________. (5) 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组Ax?0的通解
为______________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设f(x)??sinx0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4则当x?0时,f(x)是g(x)的 ( )
(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小
(2) 双纽线(x?y)?x?y所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )
?22222? (A) 2(C) 2?40cos2?d? (B) 4?4cos2?d?
0??401?cos2?d? (D) ?4(cos2?)2d?
20(3) 设有直线L1: (A)
?x?y?6x?1y?5z?8??与L2:?,则L1与L2的夹角为 ( ) 1?21?2y?z?3?? (B) 64??(C) (D)
32(4) 设曲线积分
?[f(x)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续
Lx1
导数,且f(0)?0,则f(x)等于 ( )
e?x?exex?e?x(A) (B)
22ex?e?xex?e?x?1 (D) 1?(C) 22?123???(5) 已知Q?24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则
???369??? (A) t?6时,P的秩必为1 (B) t?6时,P的秩必为2
(C) t?6时,P的秩必为1 (D) t?6时,P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 lim(sinx??21?cos)x. xx(2) 求
?dx. e?1x22xex(3) 求微分方程xy??xy?y,满足初始条件y|x?1?1的特解.
四、(本题满分6分)
计算
??2xzdydz?yzdzdx?zdxdy,其中?是由曲面z??2x2?y2与
z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
(?1)n(n2?n?1)求级数?的和. n2n?0?
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,+?)
内有且仅有一个零点. (2) 设b?a?e,证明a?b.
七、(本题满分8分)
222已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0),通过正交变换化成标准形
ba 2
22f?y12?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分6分)
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,E是n阶单位矩阵,若AB?E,证明B的列向量组线性无关.
九、(本题满分6分)
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与
A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方
程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第
二次抽出的是次品的概率为_______. (2) 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X在(0,4)内的概率分布密
度fY(y)?_______.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?21?|x|e,???x???. 2(1) 求X的数学期望E(X)和方差D(X).
(2) 求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关？ (3) 问X与|X|是否相互独立？为什么？
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