华东师范大学2004数学分析
一、（30分）计算题。
x2x21、求lim(cosx?)
x?022、若y?e?ln21x?xsin(arctanx)),求y'.
xe?x3、求?dx. 2(1?x)4、求幂级数
?nxn?1?n的和函数f(x).
5、L为过O(0,0)和A(?2,0)的曲线y?asinx(a?0),求?(x?y3)dx?(2?y)dy.
Ly?asinx,dy?dasinx?acosxdx
6、求曲面积分
??(2x?z)dydz?zdxdy,其中z?xS2?y2,(0?z?1),取上侧.
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二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）
1、若{xn,n?1,2,?,}是互不相等的非无穷大数列，则{xn}至少存在一个聚点
x0?(??,??).
2、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.
11nii?13、若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则lim?f()g()??f(x)g(x)dx.
0n??nnni?1??4、若
?an?1n收敛，则
?an?12n收敛.
5、若在R上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y),fy(x,y) 且fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)上连续，则f(x,y)在(0,0)上可微. 6、f(x,y)在R22上连续,Dr(x0,y0)?{(x,y)|(x?x0)2?(y?y0)2?r2} 若
?(x0,y0),?r?0,??f(x,y)dxdy?0, 则f(x,y)?0,(x,y)?R2.
Dr三、（15分）函数f(x)在(??,??).上连续，且limf(x)?A, 求证：f(x)在(??,??).上
x??有最大值或最小值。
四、（15分）求证不等式:2x?1?x2,x?[0,1]. 五、设fn(x),
n?1,2,?在[a,b]上连续,且fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).若
?x?[a,b],f(x)?0.求证:?N,??0,使?x?[a,b],n?N,fn(x)??.
六、（15分）设{an}满足（1）0?ak?100an,n?k?1,k?2,?;（2）级数 求证:limnan?0.
n???an?1?n收敛.
七、（15分）若函数f(x)在[1,??)上一致连续，求证：
3f(x)在[1,??)上有界. x八、（15分）设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在R有连续偏导数，而且对以任意点
(x0,y0,z0)为中心，以任意正数rSr:(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2,z?z0,
恒有
为半径的上半球面
??SrP(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?0.
求证: ?(x,y,z),R(x,y,z)?0,Px(x,y,z)?Qy(x,y,z)?0.