电大离散数学作业答案(集合论部分)

离散数学作业3

姓 名: 学 号: 得 分: 教师签名: 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业,大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求2018年11月7日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,完成并上交任课教师。

一、填空题

1.设集合A?{1,2,3},B?{1,2},则P(A)-P(B )={{3},{2,3},{1,3},{1,2,3}},A?B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}.

2.设集合A有10个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024. 3.设集合A={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4, 5},R是A到B的二元关系,

R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}.

4.设集合A={1, 2, 3, 4 },B={6, 8, 12},A到B的二元关系

R={?x,y?y?2x,x?A,y?B}

那么R-1={<6,3>,<8,4>}

5.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={, , , },则R具有的性质是反自反性.

6.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={, , , },若在R中再增加两个元素, ,则新得到的关系就具有对称性. 7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个.

8.设A={1,2}上的二元关系为R={|x?A,y?A,x+y=10},则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}.

9.设R是集合A上的等价关系,且1 , 2 , 3是A中的元素,则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素.

10.设集合A={1, 2},B={a, b},那么集合A到B的双射函数是 {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>}.

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二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)

1.若集合A = {1,2,3}上的二元关系R={<1, 1>,<2, 2>,<1, 2>},则 (1) R是自反的关系; (2) R是对称的关系.

解:(1) 结论不成立.

因为关系R要成为自反的,其中缺少元素<3, 3>. (2) 结论不成立.

因为关系R中缺少元素<2, 1>.

2.如果R1和R2是A上的自反关系,判断结论:“R11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立?并说明理由.

-

解:结论成立.

因为R1和R2是A上的自反关系,即IA?R1,IA?R2. 由逆关系定义和IA?R1,得IA? R1-1;

由IA?R1,IA?R2,得IA? R1∪R2,IA? R1?R2.

所以,R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的.

3.若偏序集的哈斯图如图一所示,

a ? ? c ? g

? h

则集合A的最大元为a,最小元不存在.

b ? 错误,按照定义,图中不存在最大元和最小元。

d ? e ?

? f 图一

4.设集合A={1,2,3,4},B={2, 4, 6, 8},,判断下列关系f是否构成函数f:A?B,并说明理由.

(1) f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}; (2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}; (3) f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}.

(1) 不构成函数,因为它的定义域Dom(f)≠A (2) 也不构成函数,因为它的定义域Dom(f)≠A

(3) 构成函数,首先它的定义域Dom(f) ={1,2,3,4}= A,其次对于A中的每一个元素a,在B中都有一个唯一的元素b,使?f

三、计算题

1.设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4},求: (1) (A?B)?~C; (2) (A?B)-(B?A) (3) P(A)-P(C); (4) A?B. 解:

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(1) (A?B)?~C={1}?{1,3,5}={1,3,5} (2) (A?B)-(B?A)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5} (3) P(A) ={Φ,{1},{4},{1,4}} P(C)={Φ,{2},{4},{2,4}} P(A)-P(C)={{1},{1,4}}

(4) A?B= (A?B)-(B?A)= {2,4,5}

2.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算

(1)(A?B); (2)(A∩B); (3)A×B. 解:(1)(A?B)={{1},{2}} (2)(A∩B)={1,2} (3) A×B

{<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2 }>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2 }>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2 }>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2 }>}

3.设A={1,2,3,4,5},R={|x?A,y?A且x+y?4},S={|x?A,y?A且x+y<0},试求R,S,R?S,S?R,R-1,S-1,r(S),s(R). 解:

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} S=Φ R?S=Φ S?R=Φ

R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S-1=Φ

r(S)= {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4, 6}.

(1) 写出关系R的表示式; (2 )画出关系R的哈斯图; (3) 求出集合B的最大元、最小元.

解:(1)

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}

(2)

8 4 6 2 7 3 5

1

关系R的哈斯图

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