电大离散数学作业答案(集合论部分)

离散数学作业3

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2018年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题

1．设集合A?{1,2,3},B?{1,2}，则P(A)-P(B )={{3},{2,3},{1,3},{1,2,3}}，A?B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}．

4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系

R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B}

那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}

5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={, , , }，则R具有的性质是反自反性．

6．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素, ，则新得到的关系就具有对称性． 7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有2个．

8．设A={1,2}上的二元关系为R={|x?A，y?A,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．

9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．

10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>}．

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二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．

解：(1) 结论不成立．

因为关系R要成为自反的，其中缺少元素<3, 3>． (2) 结论不成立．

因为关系R中缺少元素<2, 1>．

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由．

-

解：结论成立．

因为R1和R2是A上的自反关系，即IA?R1，IA?R2． 由逆关系定义和IA?R1，得IA? R1-1；

由IA?R1，IA?R2，得IA? R1∪R2，IA? R1?R2．

所以，R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的．

3．若偏序集的哈斯图如图一所示，

a ? ? c ? g

? h

则集合A的最大元为a，最小元不存在．

b ? 错误，按照定义，图中不存在最大元和最小元。

d ? e ?

? f 图一

4．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：A?B，并说明理由．

(1) f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}； (2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}； (3) f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．

(1) 不构成函数，因为它的定义域Dom(f)≠A (2) 也不构成函数，因为它的定义域Dom(f)≠A

(3) 构成函数，首先它的定义域Dom(f) ={1,2,3,4}= A，其次对于A中的每一个元素a，在B中都有一个唯一的元素b，使?f

三、计算题

1．设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4}，求： (1) (A?B)?~C； (2) (A?B)-(B?A) (3) P(A)－P(C)； (4) A?B． 解：

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(1) (A?B)?~C={1}?{1,3,5}={1,3,5} (2) (A?B)-(B?A)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5} (3) P(A) ={Φ,{1},{4},{1,4}} P(C)={Φ,{2},{4},{2,4}} P(A)－P(C)={{1},{1,4}}

(4) A?B= (A?B)-(B?A)= {2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（A?B）； （2）（A∩B）； （3）A×B． 解：（1）（A?B）={{1},{2}} （2）（A∩B）={1,2} (3) A×B

{<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2 }>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2 }>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2 }>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2 }>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={|x?A，y?A且x+y?4}，S={|x?A，y?A且x+y<0}，试求R，S，R?S，S?R，R-1，S-1，r(S)，s(R)． 解：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} S=Φ R?S=Φ S?R=Φ

R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S-1=Φ

r(S)= {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

解：(1)

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}

(2)

8 4 6 2 7 3 5

1

关系R的哈斯图

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