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点为F1(?1,0)，直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点，O为坐标原点，
（1）求椭圆C的方程；
2222（2）若?OPQ的面积为3，证明：x1?x2和y1?y2均为定值；
（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|?|PQ|的最大值. 解答题参考答案
?a?c?3?1??1、解：（Ⅰ）由题意得?b?2 ……………………………………………….1分
?a2?b2?c2?? 解得a?3，c?1. ……………………………………………………3分
x2y2??1………………………………………4分 所以所求椭圆方程为32 （Ⅱ）方法一：
当直线AB与x轴垂直时，|AB|? 此时S?AOB?43， 323不符合题意故舍掉；…………………………………..5分 3 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y?k(x?1)，
?x2y2?1?? 由?3 消去y得：(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0………6分 2?y?k(x?1)???6k2x?x???122?3k2 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?，………………….…..7分 2?xx?3k?612?2?3k2? ∴|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)?(x1?x2)?[k(x1?1)?k(x2?1)] ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]
2222222236k412k2?2448(k2?1)2?]? ?(1?k)[ (2?3k2)22?3k2(2?3k2)2243(k2?1)?………………………………………….…………9分 22?3k|k|原点O到直线的AB距离d?，…………………………..…10分
21?k∴三角形的面积S?AOB由S?AOB?11|k|43(k2?1)． ?|AB|d??221?k22?3k2322得k?2，故k??2．………………………………..11分 4鑫达捷
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∴直线AB的方程为y?即2x?y?2?0，
2(x?1)，或y??2(x?1)．
或2x?y?2?0…………………………….12分
方法二：
由题意知直线AB的斜率不为O，可设其方程为ny?x?1．………….5分
?ny?x?1?22 由?x2y2消去x得(2n?3)y?4ny?4?0．…………………….6分
?1??2?34n?4设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?，．…….7分 yy?12222n?32n?311∴S?AOB?|OF|?|y1?y2|?(y1?y2)2?4y1y2．…………….….8分
22329又S?AOB?，所以(y1?y2)2?4y1y2?．…………………….……..9分
4224n2169∴(2．………………..…….….11分 )?2?．解得n??22n?32n?3222y?x?1，或?y?x?1， ∴直线AB的方程为22即：2x?2y?1?0，或2x?2y?1?0．………………………..12分
2、
3、【解析】(Ⅰ)依题意,a?2,2c?2,则c?1 …………………1分
x2y2??1.…………………3分 解得b?3,所以椭圆?的标准方程为432鑫达捷
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?y??x?22 (Ⅱ)当直线l垂直于x轴时,由?2消去整理得7x?16x?4?0, y2?3x?4y?12解得x?2?2?或2,此时P?,0?,直线AP的斜率为0；………………5分. 7?7?当直线l不垂直于x轴时,设E?x1,y1?,F?x2,y2?,直线l:y?kx?t(t??2k), 由??y?kx?t22?3x?4y?12,消去y整理得3?4k2x2?8ktx?4t2?12?0,………………6分
?? 依题意??64k2t2?43?4k2???4t2?12??0,即4k2?t2?3?0(*),
4t2?128kt且x1?x2??,x1x2?,…………………7分
3?4k23?4k2又AE?AF, 所以
uuuruuur7t2?4k2?16kt?0, AE?AF??x1?2??x2?2??y1y2??x1?2??x2?2???kx1?t??kx2?t??23?4k所以7t?4k?16kt?0,即?7t?2k??t?2k??0,解得t??222k满足(*),………………8分 7uuuruuuruuur8kt6t??,所以2OP?OE?OF??x1?x2,y1?y2????,故22??3?4k3?4k?4kt3t??P??,,…9分 22?3?4k3?4k??故直线AP的斜率kAP3t2k13t3?4k,………………10????2?274kt8k?78k?4kt?68k???22k3?4k分
当k?0时,8k?147?kAP?0； ??414,此时?56k当k?0时,8k?147?414,此时0?kAP?；
56k综上,直线AP的斜率的取值范围为????1414?,?.………………………………………12分 5656?4、
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5、解：（1）QS?MOF1?333 ?y? 得y?1 ………………（1分）
222
① …………………（2分）
QM在椭圆上，?161??1 a2b2QF1是椭圆的焦点 ?a2?b2?9 ② ………………………（3分）
由①②解得：a?18,b?9 …………………………………（4分）
22x2y2椭圆的方程为??1. …………………………………………（5分）
189（2）OM的斜率k?11，设l的方程为y?x?m，……………（6分） 441?y?x?m??422联立方程组?2整理得9y?16my?8m?9?0. 2?x?y?1??189?9292?△??16m??4?9??8m?9??0，解得m????4,4??………（7分）
??2216m8m2?9设A、B两点的坐标为(x1,y1)(x2,y2)，则y1?y2?,y1y2?.………（8分）
99以AB为直径的圆的方程为(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0.
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