高考理科数学全国1卷(2016-2018共3套真题)及参考答案

?5?y?f(x)图像的对称轴,且f(x)在(,)单调,则?的最大值为

1836(A)11

(B)9

(C)7

(D)5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。

(13)设向量a?(m,1),b?(1,2),且|a?b|2?|a|2?|b|2,则m? . (14)(2x?x)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)

(15)设等比数列{an}满足a1?a3?10,a2?a4?5,则a1a2?an的最大值为 .

(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,

乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB?bcosA)?c.

(Ⅰ)求C; (Ⅱ)若c?7,?ABC的面积为

33,求?ABC的周长. 2

(18)(本小题满分12分)

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面

D

CABEF为正方形,AF?2FD,?AFD?90?,且二面

EBFA角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60?. (Ⅰ)证明:平面ABEF?平面EFDC; (Ⅱ)求二面角E?BC?A的余弦值.

(19)(本小题满分12分) 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500

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元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

频数

40

20

8910011更换的易损零件数

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示

2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)若要求P(X?n)?0.5,确定n的最小值;

(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n?19与n?20之中选其一,应选用哪

个?

(20)(本小题满分12分)

设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,

过B作AC的平行线交AD于点E.

(Ⅰ)证明EA?EB为定值,并写出点E的轨迹方程;

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

(21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2有两个零点. (Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1?x2?2.

请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

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如图,?OAB是等腰三角形,?AOB?120?.以O为圆心, 1OA为半径作圆. 2

(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;

(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,

证明:AB//CD.

(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为?ADOCB?x?acost,(t为参数,a?0).在以坐标原点为

y?1?asint,?极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:??4cos?.

(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为???0,其中?0满足tan?0?2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)?x?1?2x?3.

(Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出y?f(x)的图像; (Ⅱ)求不等式f(x)?1的解集.

y1O1x 43

数学答案

17、正确答案(评分标准及答案仅供参考)(12分) 解:(1) ∵ ab+b=nb ∴ n=1时 a1·b+b=b1

n

n+1

n+1

n

2

2

∴ a1·

n

1

∴ a1=2 由已知{a}乘以2为首项,公差3的等差数列

n

∴ a=a+(n-1)·d=2+3(n-1) ∴ an=3n-1 (2)由①知

代入

中∴ (3n-1)b+b=nb

n+1

n+1

n

∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ∴ b=

n+1 (n∈n*)

∴ 设{b}构成以1为首项,公比为 的等比数列

n

∴ 设{b}前n项和Sn,则Sn

n

18、正确答案(评分标准及答案仅供参考)(12分) (1)证明

∵ PD 面ABC ∴ PDAB ∵ DE面PAB ∴ DEAB

又∵ PDDE ∴ AB平面PGD ∴ PGAB ∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点

(2)正三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形 ∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC

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作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影 正三棱锥P-ABC中,D 为三角形ABC的重心,PA=6 ∴ AB=∴DG=

PG=

∴PD=

中由摄影定理PD=PEPG ∴ PE=

为等腰三角形,EFPA ∴EF=PF=

D-PEF的高为DE.

Rt

PGD中 DE=

=2

∴四面体PDEF体积

19、(12分)

正确答案(评分标准及答案仅供参考)

解:当n=19时 x≤19 y=19×200=3800元

(1)x>19时 y=19×200+(x-19)·500=500x-5700(元)· ∵ y=

(2)由柱状图知,更换16个频率0.06;更换17件频率为0.16.

更换18件频率为0.24,更换19件频率为0.24 ∴ 更换易损零件不大于n〃的频率为不小于0.5的.则n≥19 ∴ n的最小值为19件

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