北京中考数学专题复习反比例函数的综合题

北京中考数学专题复习反比例函数的综合题

一、反比例函数

1.如图,一次函数y=kx+b(k<0)与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点,一次函数

的图象与y轴相交于点C,已知点A(4,1) (1)求反比例函数的解析式;

(2)连接OB(O是坐标原点),若△BOC的面积为3,求该一次函数的解析式.

【答案】(1)解:∵点A(4,1)在反比例函数y= ∴反比例函数的解析式为y=

的图象上, ∴m=4×1=4,

的图象上, ∴设点B的坐标为(n,

).

(2)解:∵点B在反比例函数y=

将y=kx+b代入y=

中,得:

kx+b= ∴4n=﹣

,整理得:kx2+bx﹣4=0, ,即nk=﹣1①.

令y=kx+b中x=0,则y=b, 即点C的坐标为(0,b), ∴S△BOC=

bn=3,

∴bn=6②.

∵点A(4,1)在一次函数y=kx+b的图象上, ∴1=4k+b③.

联立①②③成方程组,即

解得:

x+3

∴该一次函数的解析式为y=﹣

【解析】【分析】(1)由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义,即可求出m的值;(2)设点B的坐标为(n, ),将一次函数解析式代入反比例函数解析式中,利用根与系数的关系可找出n、k的关系,由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系,再由点A在一次函数图象上,可找出k、b的关系,联立3个等式为方程组,解方程组即可得出结论.

2.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

(2)若某函数是反比例函数y= (k>0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;

(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符合题意的其中一条抛物线解析式________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________. 【答案】(1)解:如图1,

当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时, ∵OC=0D=1,

∴正方形ABCD的边长CD= 设小正方形的边长为a,

易得CL=小正方形的边长=DK=LK,故3a=CD= 解得a=

,所以小正方形边长为

或 .

;∠OCD=∠ODC=45°,

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为

(2)解:如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m, ∴OF=BF+OB=2,

∴C点坐标为(2﹣m,2), ∴2m=2(2﹣m),解得m=1. 反比例函数的解析式为y= . (3)(3,4);y=﹣ x2+ ;偶数

【解析】【解答】解:(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合 ①当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+

②当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,

③当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在 ④当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+

⑤当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时,另一个顶点C的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣

⑥当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的, ∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.

【分析】解答此题时,要特别注意认真读题,分析题意,注意已知条件点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点。

(1)一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形,正确画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标,从而计算出正方形的边长;

(2)由于ABCD是正方形,添加辅助线,作DE,CF分别垂直于x、y轴,得到的等腰直角三角形都是全等的,再利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,从而可以求解; (3)抛物线的开口可能向上,也可能向下,当抛物线的开口向上时,正方形的另一个顶点也在抛物线上,这个点可能在(3,4)的左侧,也可能在(3,4)的右侧 ,因此过点(3,4)作x轴的垂线,利用全等三角形确定线段的长, 即可求出抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论;由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

3.已知:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C(3,1)

(1)试确定上述比例函数和反比例函数的表达式;

(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?

(3)点D(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点C作直线AC⊥x轴于点A,交OD的延长线于点B;若点D是OB的中点,DE⊥x轴于点E,交OC于点F,试求四边形DFCB的面积.

【答案】(1)解:将点C(3,1)分别代入y= 和y=ax,得:k=3,a= , ∴反比例函数解析式为y= ,正比例函数解析式为y= x;

(2)解:观察图象可知,在第二象限内,当0<x<3时,反比例函数值大于正比例函数值;

(3)解:∵点D(m,n)是OB的中点,又在反比例函数y= 上, ∴OE= OA= ,点D( ,2), ∴点B(3,4),

又∵点F在正比例函数y= x图象上, ∴F( , ), ∴DF= 、BC=3、EA= ,

∴四边形DFCB的面积为 ×( +3)× = .

【解析】【分析】(1)利用待定系数法把C坐标代入解析式即可;(2)须数形结合,先找出交点,在交点的左侧与y轴之间,反比例函数值大于正比例函数值.(3)求出DF、BC、EA,代入梯形面积公式即可.

4.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上. (1)k的值是________;

(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=

图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若 = ,则b的值是________.

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