北京中考数学专题复习反比例函数的综合题

∴M(3x,-4x+4),

由旋转得:AM=AN,∠MAN=90°, ∴∠EAM+∠HAN=90°, ∵∠EAM+∠AME=90°, ∴∠HAN=∠AME, ∵∠AHN=∠AEM=90°, ∴△AHN≌△MEA, ∴AH=EM=3x,

∵⊙N与x轴相切,设切点为G,连接NG,则NG⊥x轴, ∴NG=OH, 则5x=3x+4, 2x=4, x=2,

∴M(6,-4);

②如图2,由①知N(8,10),

∵AN=DN,A(0,4), ∴D(16,16), 设直线DM:y=kx+b,

把D(16,16)和M(6,-4)代入得:

解得:

∴直线DM的解析式为:y=2x-16, ∵直线DM交x轴于E, ∴当y=0时,2x-16=0, x=8, ∴E(8,0),

由①知:⊙N与x轴相切,切点为G,且G(8,0), ∴E与切点G重合, ∵∠QAP=∠OAB=∠DCE,

∴△APQ与△CDE相似时,顶点C必与顶点A对应, 分两种情况:

i)当△DCE∽△QAP时,如图2,∠AQP=∠NDE, ∵∠QNA=∠DNF, ∴∠NFD=∠QAN=90°, ∵AO∥NE, ∴△ACO∽△NCE, ∴ ∴

∴CO= , 连接BN, ∴AB=BE=5, ∵∠BAN=∠BEN=90°, ∴∠ANB=∠ENB, ∵EN=ND, ∴∠NDE=∠NED, ∵∠CNE=∠NDE+∠NED, ∴∠ANB=∠NDE, ∴BN∥DE, Rt△ABN中,BN= sin∠ANB=∠NDE= ∴ ∴NF=2 ∴DF=4

, , ,

∵∠QNA=∠DNF, ∴tan∠QNA=tan∠DNF= ∴

∴AQ=20,

∵tan∠QAH=tan∠OAB= ∴5x=20, x=4,

∴QH=3x=12,AH=16, ∴Q(-12,20),

设QH=3x,AH=4x,则AQ=5x,

同理易得:直线NQ的解析式:y=- x+14, ∴P(0,14);

ii)当△DCE∽△PAQ时,如图3,

∴∠APN=∠CDE, ∵∠ANB=∠CDE, ∵AP∥NG, ∴∠APN=∠PNE, ∴∠APN=∠PNE=∠ANB, ∴B与Q重合, ∴AN=AP=10, ∴OP=AP-OA=10-4=6, ∴P(0,-6);

综上所述,△APQ与△CDE相似时,点P的坐标的坐标(0,14)或(0,-6)

【解析】【分析】(1)由一次函数解析式容易求得A、B的坐标,利用勾股定理可求得AB的长度;(2)①根据同角的三角函数得:tan∠OAB= 得x的值,计算M的坐标即可;

②如图2,先计算E与G重合,易得∠QAP=∠OAB=∠DCE,所以△APQ与△CDE相似时,

,设EM=3x,AE=4x,则

AM=5x,得M(3x,-4x+4),证明△AHN≌△MEA,则AH=EM=3x,根据NG=OH,列式可

顶点C必与顶点A对应,可分两种情况进行讨论:

i)当△DCE∽△QAP时,证明△ACO∽△NCE,列比例式可得CO= tan∠QNA=tan∠DNF=

,AQ=20,则tan∠QAH=tan∠OAB=

,根据三角函数得:

,设QH=3x,

AH=4x,则AQ=5x,求出x的值,得P(0,14);

ii)当△DCE∽△PAQ时,如图3,先证明B与Q重合,由AN=AP可得P(0,-6).

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