2016年合肥信息技术职业学院单招数学模拟试题(附答案)

考单招——上高职单招网 (1)f(m,1)的表达式(m?N);(2)f(m,n)的表达式(m,n?N); (3)若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n,则输出结果f(n,n)能否为2005?

若能,求出相应的n;若不能,则请说明理由。

解:(1)f?m,1??3f?m?1,1??32f?m?2,1????3m?1f?1,1??3m?1 (2)

f?m,n??f?m,n?1??3?f?m,n?2??3?2???f?m,1??3?n?1??3m?1?3?n?1?

(3)f?n,n??3n?1?3?n?1? ,∵f?7,7??36?18?747?2005,

f?8,8??37?21?2208?2005

∴f(n,n)输出结果不可能为2005。 21.(本题满分16分)

对数列?an?,规定??an?为数列?an?的一阶差分数列,其中?an?an?1?an(n?N)。 对自然数k,规定?kan为?an?的k阶差分数列,其中

???kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。

(1)已知数列?an?的通项公式an?n2?n(n?N),,试判断??an?,?2an是否为

等差或等比数列,为什么?

(2)若数列?an?首项a1?1,且满足?2an??an?1?an??2n(n?N),求数列?an?的通项公式。

(3)对(2)中数列?an?,是否存在等差数列?bn?,使得

通项公式;若不存在,则请说明理由。

解:(1)?an?an?1?an??n?1???n?1??n2?n?2n?2,∴??an?是首项为4,

2??12nb1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立?若存在,求数列?bn?的

??公差为2的等差数列。

?2an?2?n?1??2??2n?2??2

∴?2an是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。

??

考单招——上高职单招网 (2)?2an??an?1?an??2n,即?an?1??an??an?1?an??2n,即

?an?an?2n,∴an?1?2an?2n

∵a1?1,∴a2?4?2?21,a3?12?3?22,a4?32?4?23,猜想:

an?n?2n?1

证明:ⅰ)当n?1时,a1?1?1?20; ⅱ)假设n?k时,ak?k?2k?1

n?k?1时,ak?1?2ak?2k?k?2k?2k??k?1??2?k?1??1 结论也成立

∴由ⅰ)、ⅱ)可知,an?n?2n?1

12n12n (3)b1Cn?b2Cn???bnCn?an,即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2n?1 123n012n?1n?1 ∵1Cn ?2Cn?3Cn???nCn?nCn?C?C???C?n?2?1n?1n?1n?112n ∴存在等差数列?bn?,bn?n,使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切

??自然n?N都成立。 22.(本题满分18分)

已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数,当x?[?2,0)时,f(x)?tx?为常数)。

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当t?[2,6]时,求f(x)在??2,0?上的最小值,及取得最小值时的x,并猜想

13x(t2f(x)在?0,2?上的单调递增区间(不必证明);

(3)当t?9时,证明:函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。 解:(1)x??0,2?时,?x???2,0?, 则 f(?x)?t(?x)? ∵函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数,即f??x???f?x? ∴?f?x???tx?11(?x)3??tx?x3 22131x,即 f(x)?tx?x3,又可知 f?0??0 22

考单招——上高职单招网 ∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx? (2)f?x??x?t?13x ,x???2,2? 2??112?x?,∵t?[2,6],x???2,0?,∴t?x2?0

22? ∵?f?x??211?22x?t?x2?t?x2??1?22?x2?t?x2???3??2?????38t?? 27???3 ∴x2?t?122t6t6t26x,即 x2?,x??(????2,0?)时,fmin??tt 。 23339?6t?猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,?。

3?? (3)t?9时,任取?2?x1?x2?2,∵

?122?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0

?2? ∴f?x?在??2,2?上单调递增,即f?x???f??2?,f?2??,即f?x???4?2t,2t?4? ∵t?9,∴4?2t??14,2t?4?14,∴14??4?2t,2t?4?

∴当t?9时,函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。

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