考单招——上高职单招网 （1）f(m,1)的表达式(m?N)；（2）f(m,n)的表达式(m,n?N)； （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f(n,n)能否为2005？
若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。
解：（1）f?m,1??3f?m?1,1??32f?m?2,1????3m?1f?1,1??3m?1 （2）
f?m,n??f?m,n?1??3?f?m,n?2??3?2???f?m,1??3?n?1??3m?1?3?n?1?
（3）f?n,n??3n?1?3?n?1? ，∵f?7,7??36?18?747?2005，
f?8,8??37?21?2208?2005
∴f(n,n)输出结果不可能为2005。 21．（本题满分16分）
对数列?an?，规定??an?为数列?an?的一阶差分数列，其中?an?an?1?an(n?N)。 对自然数k，规定?kan为?an?的k阶差分数列，其中
???kan??k?1an?1??k?1an??(?k?1an)。
（1）已知数列?an?的通项公式an?n2?n(n?N),，试判断??an?，?2an是否为
等差或等比数列，为什么？
（2）若数列?an?首项a1?1，且满足?2an??an?1?an??2n(n?N)，求数列?an?的通项公式。
（3）对（2）中数列?an?，是否存在等差数列?bn?，使得
通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：（1）?an?an?1?an??n?1???n?1??n2?n?2n?2，∴??an?是首项为4，
2??12nb1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切自然n?N都成立？若存在，求数列?bn?的
??公差为2的等差数列。
?2an?2?n?1??2??2n?2??2
∴?2an是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
??
考单招——上高职单招网 （2）?2an??an?1?an??2n，即?an?1??an??an?1?an??2n，即
?an?an?2n，∴an?1?2an?2n
∵a1?1，∴a2?4?2?21，a3?12?3?22，a4?32?4?23，猜想：
an?n?2n?1
证明：ⅰ）当n?1时，a1?1?1?20； ⅱ）假设n?k时，ak?k?2k?1
n?k?1时，ak?1?2ak?2k?k?2k?2k??k?1??2?k?1??1 结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an?n?2n?1
12n12n （3）b1Cn?b2Cn???bnCn?an，即 b1Cn?b2Cn???bnCn?n?2n?1 123n012n?1n?1 ∵1Cn ?2Cn?3Cn???nCn?nCn?C?C???C?n?2?1n?1n?1n?112n ∴存在等差数列?bn?，bn?n，使得b1Cn?b2Cn???bnCn?an对一切
??自然n?N都成立。 22．（本题满分18分）
已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?为常数）。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想
13x（t2f(x)在?0,2?上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。 解：（1）x??0,2?时，?x???2,0?， 则 f(?x)?t(?x)? ∵函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，即f??x???f?x? ∴?f?x???tx?11(?x)3??tx?x3 22131x，即 f(x)?tx?x3，又可知 f?0??0 22
考单招——上高职单招网 ∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx? （2）f?x??x?t?13x ，x???2,2? 2??112?x?，∵t?[2,6]，x???2,0?，∴t?x2?0
22? ∵?f?x??211?22x?t?x2?t?x2??1?22?x2?t?x2???3??2?????38t?? 27???3 ∴x2?t?122t6t6t26x，即 x2?,x??(????2,0?)时，fmin??tt 。 23339?6t?猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,?。
3?? （3）t?9时，任取?2?x1?x2?2，∵
?122?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0
?2? ∴f?x?在??2,2?上单调递增，即f?x???f??2?,f?2??，即f?x???4?2t,2t?4? ∵t?9，∴4?2t??14,2t?4?14，∴14??4?2t,2t?4?
∴当t?9时，函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。
??