二次函数综合题训练题型集合
1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y?x?m与该二次函数的图象交
于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次
函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使
得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
A P
D E B
O C x
图1
2、如图2，已知二次函数y?ax2?4x?c的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关
于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离
y －1 O －3 A 1 x －9 图2
B 3、如图3，已知抛物线y?ax2?bx?c经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.
（1） 求这条抛物线的函数关系式.
（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动
1
点运动的时间为t（秒) (0＜t＜4)，△PQA的面积记为S.
① 求S与t的函数关系式；
② 当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；
③ 是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
B C
Q
O P A
图3 4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.
根据图象提供信息，解答下列问题： （1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；
（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式； （3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； S(万元) （4）求第8个月公司所获利是多少元？
4
3 2 1
0 1 2 3 4 5 6 t(月)
-1 -2 -3 图4
5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线y?ax2?bx?c的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.
（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴
交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S.
① 求S与t之间的函数关系式.
② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.
x 2
y D y C 1 1
2A O E B x
O E x
图5
备用图
6、(07浙江中考)如图6，抛物线y?x?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。
7、（07海南中考）如图7，直线y??图6
备用
4x?4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次3函数的图象经过点A、C和点B??1,0?.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
3个单位长度的速度沿折线OAC 2按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→
当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒A的路线运动，
时，?ODE的面积为S .
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
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