正交矩阵的作用

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵,由于它的一些特殊的性质,使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手,来讨论它的四点作用.

首先,我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A,若满足A?A?E,则称A为正交矩阵.

定义2 n阶实矩阵A,若满足AA??E,则称A为正交矩阵.

定义3 n阶实矩阵A,若满足A??阵.

定义4 n阶实矩阵A的n个行(列)向量是两两正交 的单位向量,则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

1

A?1,则称A为正交矩

设A为正交矩阵,它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1,A-1存在,并且A-1也为正交矩阵; <2>A′,A*也是正交矩阵;

当∣A∣=1时,A??A*,即aij?Aij; .

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij<3>若B也是正交矩阵,则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然

?1A??1

?1(A)???A???(A)?1?1 所以A?1也是正交矩阵.

<2>A??A?1,显然A?为正交矩阵.

A??1,A??A?1由 当 当

?A*A

A?1时,A??A*,即aij?AijA??1时,A???A*,即aij??Aij所以A*为正交矩阵. <3>由A??A?1 ,B??B?1 可知

?1(AB)??B?A??BA?1?(AB)?1

故AB为正交矩阵.由<1>,<2>推知A?B,AB?,A?1B,AB?1均为正交矩阵.

2

正交矩阵的性质主要有以上几点,还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交;如果?是它的特征值,那么也是它的特征值等,这些性质这里就不再证

?1明了.

运用这些性质,我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.

二.正交矩阵的作用

(一)正交矩阵在线性代数中的作用

在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.

设向量

c?wisW?(w1,w2,?,wn)? ,令

s?wi?wj(j?i)22,

,d?wjs,则称n阶矩阵

?????i行????j行??1???1????Tij????????c???d??i列?c??j列??d?

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