【解析】 两人第一次相遇需360?(75?45)?3分，其间乙走了45?3?135（米）．由此知，乙每走135米
两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）
【例 15】 （难度等级 ※※※※）如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。
跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有 米。
A
【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．
在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是
本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点A点．的距离．
对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了200?8?4?100米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了100?50?150米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．
【例 16】 （难度等级 ※※※※）如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有
200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?
甲乙A乙甲乙B甲甲乙A
【解析】 根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇．
易知小跑道上AB左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米．
我们将甲、乙的行程状况分析清楚．
当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处．
而当乙第一次到达B点时，所需时间为200?4?50秒,此时甲跑了6?50?300米,在离B点300?200?100米处．
...
乙跑出小跑道到达A点需要100?4?25秒,则甲又跑了6?25?15米0,在A点左边(10?015?0)2?00米处． 所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达A处开始计算,还需(400?50)?(6?4)?35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了
50?25?35?110秒．
所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6?110?660米．
【例 17】 （难度等级 ※※※※※）下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30
厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？
【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在
A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，
所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋
1圈； 21)＝48m＋24 2因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同， 所以30n＝48m＋24；
即5n＝8m＋4，有不定方程知识，解出有n＝4，m＝2， 所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。
【例 18】 （难度等级 ※※※※※）如图所示，甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆
八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：1?2?3?4?1?）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。
...
A143B2
【解析】 从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在A、B两点处相遇（本题中，虽然在B处时两人都是顺
时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）．
从A到B，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200米．两人的速度之比为3:5，那么两人跑200米所用的时间之比为5:3．设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单位为
40秒． 3可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在A点或B点，而且是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在A点或B点，同样地，是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点．
要使甲、乙在A、B两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是200?3?5?40?45?600秒两人第三次相遇． 3也可以画表如下：
说，出发后
A B A B A B A B A B A B A B A B 甲 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 乙 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在B点，经过30个时间单位后两人同在A点，经过45个时间单位后两人同在B点，这是两人第三次相遇．
【例 19】 （难度等级 ※※※※）三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬
虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?
A123B
【解析】 根据题意，甲爬虫爬完半圈需要210?2?20?5.25分钟，乙爬虫爬完半圈需要210?2?15?7分
钟．由于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟，第一次爬到2、3之间要10.5分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处．
...
由于甲第一次爬到2、3之间要10.5分钟，第二次爬到1、2之间要15.75分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处．
当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了20?14?280米，210?2?210?280?35(米)，所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要35?(20?15)?1(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了14?1?15分钟．
所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了20?15?300厘米．
【例 20】 （难度等级 ※※※※※）从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的 2千米处有个铁道路口，
是每关闭 3分钟又开放 3分钟的．还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？
【解析】 画出反映交通灯红绿情况的 s t? 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可
以是 0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24分钟．
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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