2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
输油管的布置
摘要
能源的运输线路关系到国家的经济发展，本文根据问题的条件和要求，针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形建立最优化模型。通过分析，将炼油厂、车站、铁路线之间的距离作为未知常量，列出费用优化模型，完整地解决了问题。
针对第一问：首先画出两炼油厂及车站的位置关系图，通过对问题的分析，在位置关系图的基础上采用分步设计的思路，设计出了输油管道及车站的通用方案图。利用通用方案图，设定能够表示非共用管道交汇点位置及火车站建设点位置的变量x、y，依据几何知识建立费用最小方案模型:
2222W=P1((a?y)?x?(b?y)?(c?x))?P2y，
利用lingo软件编写程序，从而求解出任意情况下的费用最小方案。
针对问题二：首先分析三家公司对附加费用的不同预测及自身的资质，我们采用加
权平均的方法计算出合理的附加费用法，再由第一问的模型建立最优化模型： 通过ling软件编程从而求解出设计方案，该方案计算的费用为283.20万。方案如图所示：
针对问题三：首先比较第三问与第二问，得出第三问与第二问的区别在于输油管道费用不再是固定的值。改进第二问中的模型，建立第三问的最优化模型：
minW?P11L1?P12L2?P2y?P3L3222222 =P11(x?(a?y))+P12(b?d?y)?(c?x)+P2y+P3d?(l?c)22W1?P(b?d?y)2?(c?x)2)?P2y?P3d2?(l?c)21((x?(a?y))?代入数据从而得出了最优方案。方案计算的费用为252.47万
关键词： lingo 最优化模型 加权平均值
一．问题重述
1.问题的重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 2.提出问题：
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（1） 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
（2） 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
工程咨询公司 附加费用（万元/千米） 公司一 21 公司二 24 公司三 20 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（3）在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。然后给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二．问题分析
（1）针对问题一，由题意可知，此问未提供任何与解题有关的已知的数据，仅给出有两个炼油厂需要铺设通往火车站的管道，火车站也是未知待定的。要想设计出合理的方案，就需要画出草图，以此形象的显示设计方案所涉及的不同情形，未知数据先用
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字母表示出来。设计方案的总体思路是采用分步设计，首先架设非公用管道，其次架设共用管道，最后确定火车站的位置，。根据设计过程中总结的规律，建立最优化模型，解决问题一提出的问题。
（2）针对问题二，通过比较问题一和问题二的题设条件可知，问题二给出了影响总费用的因素，每千米的铺设费用7.2万元和附加费用。因三家工程咨询公司评估的附加费用不同（其中公司一21万元/千米，公司二24万元/千米,公司三20万元/千米），并且资质也不同（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）。所以我们采用加权平均的方法对评估出来的三种不同费用进行处理，求出更为合理的附加费用值。
在设计费用最优化模型时，考虑到城市的拆迁费用，我们将输油管穿过城区的部分用L3表示。然后分共线和不共线两种情况进行比较分析：当A厂,B厂输油管有共用管线时，从B厂出发架设到共用管线时的非共用管线分两部分考虑L2，L3，共用管线用Y表示。未知变量均用字母表示出来，建立最优化模型，在 lingo中输入目标函数与约束条件，导出结果目标函数值；当A厂,B厂到车站的输油管没用共用管线时，由模型可知，此时Y=0。同理，运用lingo软件，在共线模型的基础上给约束条件中的Y赋值为0，计算出此时的目标函数值。通过比较A厂，B厂到车站是否使用共用管线的两种情况所需费用，得出最优方案。
（3）针对问题三：问题三在问题二的基础上考虑到实际问题，依据炼油厂的生产能力不同，选用相适应的输油管。这时的管线铺设费用将分别降为：输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元.根据问题二共线和不共线两种情况下建立的模型，修改在lingo程序里的每千米的管道费用值，即可导出结果，通过比较A厂，B厂到车站是否共用管线时的费用，确定最佳方案。
三．问题假设
1、铺设的管道所经区域均为平整无阻隔的平地，不存在影响管道铺设的地形，如河流，山谷等。
2、铺设管道的路线由若干条直线段构成，不存在曲线。 3、铁路线不存在拐弯或曲线的情况，可看做是一条直线
四、 名词解释及符号说明
1．名词解释：1. 2. 2．符号说明 W 方案总费用 非共用管线单位长度的费用 P1 P2 P11 共用管线单位长度的费用 由炼油厂A导出的非共用管线的费用 由炼油厂B导出的非共用管线的费用 P12 3
Pi3 公司i评估的附加费用 三家公司评估的加权平均值 公司i的权重 炼油厂A到铁路线的垂直距离 炼油厂B到铁路线的垂直距离 炼油厂A、B在以铁路线为水平线的竖直距离 由炼油厂A导出的非共用管线的长 由炼油厂B导出的非共用管线的长 建模前共用管线的长的表示 建模后共用管线的长的表示 在Ⅱ区域内的非共用管线的长 非共用管线的交汇点 车站的建设位置 车站距离炼油厂A在铁路线上的垂点之间的距离 P3i ?i a b c L1 L2 L' y L3 T D x 五、 模型的建立及求解
针对问题一：
由题知本文是根据两个炼油厂的之间的位置及与铁路线的距离设定方案，方案中要确定输油管道的铺设路线及火车站的位置。方案要使铺设管道的费用最省。 问题一中未提供任何数据，说明解决第一问要解决两炼油厂在任意位置下的费用最优化问题。由题意知铺设管线分为有共用管线和无共用管线两种情况，下面就对这两种情况单独讨论：
（1）有共用管线情况下的最优方案：
分析问题知，要想费用最省的方案，就要知晓这几个数据：两炼油厂距离铁路线各自的垂直距离；两炼油厂以铁路线为水平线的水平距离，单位长度共用管线的费用P1及非共用管线的费用P2。如图一：
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A、B为两个炼油厂，a、b分别为A、B两个炼油厂距离铁路线的垂直距离，c为以铁路线为水平线的水平距离。由于第一问中未提供任何数据，所以先把这些变量看作是常量。知道这几个数据的值我们才能进一步设计方案。
对于有共用管线的情况下确定的方案，一定包含有图二中的信息：
图二
图中设非公用管线和公共管线单位长度的费用分别为P1、PL1、L2分别表示从A、2，B炼油厂导出的非共用管线的长度，T点表示两非共用管线的交汇处，从T点导出公用管线连接到车站D，L'表示共用管线的长度。
在设计方案的时候我们先确定了T点，如图三：
图三
再从T点导出公用管线连接到车站D，从而确定L'，由于铁路线上任一点均可作为火车站，所以有无数条线可作为L'，如图四：
图四
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