南京林业大学本科毕业论文
g?x,y??为方便下面推导，将式(3-6)简写为
?f,x??y? y （3-6） h,?xg=f*h，g表示为模糊图像，f表示原始清晰图像，h表示线性系统函数（也称点扩散函数）。算法就是是由h和g求f的过程。
根据贝叶斯公式和概率定理可知存在如下条件概率分布公式：
P?f|g????P?g|f?P?f?????P?g? （3-7） 即模糊图像已知的条件下，原始清晰图像概率分布P?f|g?值最大时，此时的图像是有可能最接近原始图像的估计值。由于g为模糊图像已知，则P(g)对应一个常数，忽略不计时式（3.1.2-2）变成如下：
maxP?f??maPx?g?|f?P? f (3-8) P(f)是原始清晰图像的概率值，利用贝叶斯估计初始值为1/I,I为矩阵的维数。定值不考虑时，则Max P(f)的求取的最大似然模型估计简为下式（3.1.2-4）
max （3-9） L?f??maPx?g?|f我们知道RL算法是假定图像服从泊松分布并利用最大似然估计求取最接近原始图像的估计值的，则（3.1.2-4）式中P(g∣f)的条件概率分布函数为：
f P?g|f???????h,x?????yg?x,?y??f?h??,x?ye??g,??x y (3-10)
似然函数为：
L?f?x,y???????f?h??x,y???g?x,y?e??f?h??x,y??g?x,y?? (3-11)
由于L(.)和lnL?.?在同一处取到极值，并且lnL(.)的计算简便性，所以对于f(x, y)的最大似然估计可以从下述方程解得：
dlnL?f?x,??y?即dln????f?h??x,y???化简得：
? ???g??f?h???h???x,y??1 (3-14)
(3-12) ?df,?x?y 0g?x,y?e??f?h??x,y??g?x,y???df?x,y??0 (3-13)
其中h为模糊核，h*为h的复共轭，h??x,y??h??x,?y? 将式(3-14)两边同时乘f(x, y)，得
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? f?x,y?????g??f?h???h???x,y?f?x,y? (3-15)
为了求解，利用迭代算法，有下式：
fn?1?x,y???g??fn?h??h???x,y?fn?x,y? (3-16)
??以上即为RL算法的原理，从式(3.1.2-11)可以看出，随着迭代次数n的增加，复原图像
??fn?x,y?应随着概率逐渐收敛于原始清晰图像f(x, y)。但是，对于迭代次数n的选取则应可以根据实验操作的复原效果进行适时控制。振铃效应是由于在复原图像过程中，由于每个像素需要得到相邻像素信息才能复原，但图像边缘像素却缺乏相邻像素信息，从而导致复原得到的图像边缘变差且有明暗相间的条纹。通过以上RL算法复原原理可以解释“随着迭代次数的增加，振铃效应不可避免地增大”的现象了。
3.1.3 约束最小二乘法
约束复原方法就是通过一定的约束条件在存在多种可能结果的事件中选择一个最佳结果从而更易处理的方法。例如维纳滤波就是一种基于均方误差最小的约束复原方法。
约束最小二乘复原方法在考虑退化系统的点扩散函数外，还要考虑噪声的统计特性以及噪声对图像的相互关系。一般情况下，根据噪声先验知识的估计不同，采用不同的约束条件就可得到不同的约束复原算法。根据(2-1)，卷积的定义可知，
g?Hf? n （3-17）
式中若n为零或者对噪声不知，我们就可以用最小二乘来复原图像。令e(f)为f和估计量
??f间的残差量，则上式可以转变为：
?? e(f)?g?Hf （3-18）
我们的目标是使目标函数
W(f)?e(f)?g?Hf最小化，式中w???2?2?(g?Hf)(g?Hf) （3-19）
?T?2Tw?w 代表一个向量的欧几里得范数。上式意味着最小二乘约束得到的
?f， 是使其被H模糊后所得的结果与已模糊图像g间的均方差尽可能小。由于g本身就
?是 f 经H模糊得到的，若f和f两者被H模糊的结果接近相等，由于被作用的机理相同，所以认为f很可能是f的一个良好的估计值。
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下面我们在频域中对公式
? F(u,v)?G(u,v)/H( u , v （3-20）
进行去卷积说明。
若H(u,v)有零值，则H是奇异的。
那么，考虑噪声项的一种方法是在极小化过程中引入使（3-17）两端范数相等的约束，即：
g?Hf?
?2n （3-21）
2
接下来问题可归结为最小化如下目标函数:
W(f)?Qf
???2??(g?Hf?2?n) (3-22)
2
其中，Q是对f进行某种运算的矩阵，?为一常数，为拉格朗日因数。通过指定不同的Q，可以达到不同的复原目标。令W(f)对f的导数为零，得：
???W(f) ?f???2QQf?2?H(g?Hf)?0 （3-23）
T?T?其中，HT表示H的转置矩阵,求解f^,得：
TT?1T f?(HH??QQ)Hg (3-24)
??为一个参数，若将f和n视为随机变量，选择Q为噪声与信号之比：
式（3-25）中
Q?RnRf
（3-25）
Rf?E(ffT)和
?Rn?E(nnT)分别为信号和噪声的协方差矩阵，代入（3-24）：
（3-26）
1?1Tf?(HTH??R?fRn)Hg运用矩阵傅里叶变换可以得出下式：
Wc(u,v)?H?(u,v)H(u,v)??Rn(u,v)/Rf(u,v)2 (3-27)
其中r为可调节参数,当取值为1时，就是3.2.3节中使原始图像与恢复图像间的均方差
最小化的维纳滤波器。
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3.2 离焦模糊去除方法
在第二章中，我们介绍了导致图像离焦模糊的原因，离焦模糊使得肉眼无法直接判读或识别清晰图像，离焦模糊去除的目的是从降质模糊（多数情况下含有噪声）图像中重构或恢复原始的清晰图像以便实际应用。常用的离焦模糊复原方法包括逆滤波复原、维纳滤波复原和约束最小二乘复原等。不同的复原方法具有不同的优劣性，本文将采用逆滤波复原和维纳滤波复原进行去除图像中的离焦模糊，将详细介绍算法的推导及优缺点。退化模型（即点扩散函数PSF）的确定是图像恢复的关键，首先要了解离焦模糊图像的退化模型和相应地参数估计。
3.2.1 离焦模糊图像的退化模型及参数估计
离焦模型是基于几何光学知识理论研究离焦模糊得出的，根据几何光学原理，物空间的点通过理想成像系统后在像空间形成的像是一个像点。但是由于实际情况中会发生物面、镜面和成像面间的距离不满足高斯成像公式要求，这种情况下物空间的点在像空间所成的像就是一个小圆斑，而不是理想中的像点。
下图2是离焦模型几何原理图： A P D A’ P’ P”d B V B’ l v0 图3-1 离焦模糊几何原理图
所以，常常把离焦模型的点扩散函数近似理解为一个圆盘函数，其表达式为：
2222??1???r?,x?y?r hr?x,y??? （3-28）
??0,式中r为圆盘离焦的模糊半径，也是唯一待求参数，r一旦确定，经傅里叶变换，我们就可以得出退化函数hr(x, y)的频域表达式，再经过相应地滤波作用得出原始清晰图像的频
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域表达式f(x, y),最后经傅里叶反变换可以实现图像复原，即去离焦模糊。
下面将介绍参数r的估计：
在不考虑噪声的影响下，将上式的离焦模糊退化模型进行傅里叶变换：
??2?u?2?2?v?2?2J1?r???????M??N????? （3-29） H?u,v??22?2?u??2?v??????M???N?式中的J1[.]表示一阶第一类Bessel函数，M*N是二维傅里叶变换的大小。由一阶第一类Bessel函数的性质，H(u, v)在频域的第一个暗环（即第一个零点）的轨迹如下：
2?r?uM???vN??3.85 （3-30）
22如果你找到了离焦模糊图像傅里叶变换后的第一个零点所对应的u, v，我们所需的离焦模糊半径r就可通过上式求出。
3.2.2 逆滤波复原
逆滤波复原也称反向滤波，其机理是将待处理图像从空间域通过傅里叶变换，转换到频率域中，反向滤波后，通过傅里叶逆变换再由频域转换到空间域，从而达到去模糊的效果。
由（2-2）式G?u,v??F?u,v?H?u,v??N?u,v?中F(u,v),G(u,v),H(u,v)和N(u,v)分别表示f(x,y),g(x,y),h(x,y)和n(x,y)的傅里叶变换，是基于频域的。H(u,v)即我们的点扩散函数，在线性系统中称转移函数，在光学系统中称为光学传递函数。
由上式得
F?u,v????G?,u?v?G?u,v??,?uv?N,?u??v?H （3-31）
H,?uv?,u?v??N,?u?v?H当噪声N(u,v)的值很小，可以忽略的情况下，上式可以转变成下式： F?u,v??G?,u??v对式（3-23）进行傅里叶逆变换可得：
? v （3-32） ?H,?u?G(u,v)?f(x,y)?F?1?F(u,v)??F?1??H(u,v)?? （3-33）
式中f(x,y)为复原图像，这就是逆滤波算法的去模糊原理。逆滤波的原理很简单，对于信
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