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3.4 函数的应用(Ⅱ)
课时过关·能力提升
1某公司为了适应市场需求,对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案D 2当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 A.y=100x C.y=x 答案D 3化学上通常用pH来表示溶液酸碱性的强弱:pH=-lg{c(H)},其中c(H)表示溶液中H的浓度.若一杯胡萝卜汁的pH比一杯葡萄汁的pH小2,则胡萝卜汁中c(H)是葡萄汁中c(H)的倍数为( ) A.2 C.100 即a=100b. 答案C 4今有一组数据如下表所示:
1.93.04.05.06.193 02 01 32 21 1.54.47.412.17.s 01 13 98 04 93 B.10 D.200
+++++++100
( )
B.y=log100x D.y=100
xx解析由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100的增长速度最快.
解析设胡萝卜汁中的c(H)和葡萄汁中的c(H)分别为a和b,依题意有lg b-lg a=-2,因此lg=-2,
t
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( ) A.s=2+1 C.s=t-
2
t-3
B.s=log2t D.s=2t-2
解析画出散点图如图所示.
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由散点图可知,此函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;函数的图象不是直线,排除选项D;函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B. 答案C 5春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( ) A.10天 C.19天 布满水面一半. 答案C 6某种动物繁殖数量y(单位:只)与繁殖时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则第七年它们发展到( ) A.300只 C.500只
B.400只 D.600只
B.15天 D.2天
x
解析荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y=2,当x=20时,长满水面,故生长19天时,
解析由题意,知当x=1时,y=100,即100=alog22,
即a=100,故y=100log2(x+1). 于是当x=7时,y=100log28=300(只). 答案A 7某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( ) A.y=100x C.y=50×2 答案C ★
8有浓度为a%的酒精一满瓶共m升,每次倒出n升,再用水加满,一共倒了10次,则加了10次
xB.y=50x-50x+100 D.y=100log2x+100
2
解析由所给数据,再根据不同函数的不同增长特点可知最好的模型为指数型函数,故选C.
水后瓶中的酒精浓度是 . 解析第一次加满水时,瓶中酒精的浓度为
·a%,
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第二次加满水时,瓶中酒精的浓度为
a%=·a%,
依次可得第n次加满水时,瓶中酒精的浓度为
·a%.
答案·a%
9某化工企业生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过0.1%,若最初含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,则至少应该过滤 次才能达到市场要求.(取lg 2≈0. 301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)
解析设该过滤n次,则2%达到市场要求. 答案8 ≤0.1%,即n≥≈7.4,即n>7.4,因此至少应经过8次过滤才能
10有时可用函数f(x)=描述学习次数对某学科知识的掌握程度,其中x(x∈N+)
表示对某学科知识的学习次数,f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关. (1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
(1)证明当x≥7时,f(x+1)-f(x)=.
当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)是单调递增的,且(x-3)(x-4)> 0.故f(x+1)-f(x)是单调递减的. 因此,当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.
(2)解由题意,知0.1+15ln
故该学科是乙学科.
=0.85,整理得=e0.05,解得a=·6≈123,123∈(121,127].
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