（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.5 绝对
值不等式教师用书
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
不等式 |x|0 (－a，a) (－∞，－a)∪ a＝0 ? (－∞，0)∪ a<0 ? |x|>a (a，＋∞)
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 【知识拓展】
(0，＋∞) R |x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( × )
(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( × ) (3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.( √ ) (4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √ )
(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．( × )
1．(2015·山东)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( ) A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5) 答案 A
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 2．不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为( ) A．(3，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－∞，－1) D．(－∞，0) 答案 B 解析 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3. 故当k<－3时，原不等式恒成立． 3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( ) A．[2,4] C．[－2,4] 答案 C 解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3， B．[1,2] D．[－4，－2] ∴－2≤a≤4. 12 4．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 2______． 1 答案 [－1，] 2 解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2| ?1?－x＋3，－2≤x<， 2＝? 1 3x＋1，x≥.??2 －3x－1，x<－2， 当x<－2时，y＝－3x－1>5； 1515 当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的 2222515122 最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a＋a222252111 ＋2.解不等式≥a＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]． 2222 题型一 绝对值不等式的解法 例1 (2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1的解集． ?3?3x－2，－1 3 －x＋4，x>，??2 y＝f(x)的图象如图所示． x－4，x≤－1，