离散数学答案屈婉玲版第二版 高等教育出版社课后答案

(2) 非零整数集合 和普通的除法运算。不封闭

(3) 全体n?n实矩阵集合 (R)和矩阵加法及乘法运算,其中n 2。 封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律; 加法单位元是零矩阵,无零元;

乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;

(4)全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n 2。不封闭 (5)正实数集合 和 运算,其中 运算定义为:

, ,

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R?

(6)n 关于普通的加法和乘法运算。 封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 加法单位元是0,无零元;

乘法无单位元(n?1),零元是0;n?1单位元是1 (7)A = {a1,a2,?,an} n 运算定义如下:

, ,

封闭 不满足交换律,满足结合律,

(8)S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 (9)S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律 (10)S = ,S关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律

5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。 见上题

7.设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?,

X * Y = min ( x,y ),即x和y之中较小的数.

(1)求4 * 6,7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律,结合律,和幂等律?

?满足交换律,结合律,和幂等律

(3)求*运算的单位元,零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无,零元1, 所有元素无逆元

8.S?Q?Q Q为有理数集,*为S上的二元运算,, S有

< a,b >* =

(1)*运算在S上是否可交换,可结合?是否为幂等的? 不可交换:*= ?< a,b >*

可结合:(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

(2)*运算是否有单位元,零元? 如果有请指出,并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元, S ,*= *===,解的=<1,0>,即为单位。 设是零元, S ,*= *===,无解。即无零元。

S,设是它的逆元*= *=<1,0> ==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x?0时,?x,y??1?1y,? xx10.令S={a,b},S上有四个运算:*, ,和□分别有表10.8确定。

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律? (a) 交换律,结合律,幂等律都满足, 零元为a,没有单位元; (b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元 (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律,满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元

(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上

16.设V=〈 N,+ , 〉,其中+ ,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数,为什么?

(1)S1= 是

(2)S2= 不是 加法不封闭 (3)S3 = {-1,0,1} 不是,加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0,1,2,3},

为模4乘法,即

y=(xy)mod 4

\?x,y∈S, x

问〈S,

〉是否构成群?为什么?

y=(xy)mod 4?S,

是S上的代数运算。

解:(1) ?x,y∈S, x

(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3

(x

y)

z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x

(y

z) =(xyz)mod 4 y)

z = x1)=(1

(y

z),结合律成立。

所以,(x(3) ?x∈S, (x

x)=x,,所以1是单位元。

(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以,〈S,

〉不构成群

9.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算。如下: \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群?为什么?

解:(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,

(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz),结合律成立。

(3)设e是单位元,?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2

(4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以,x?1?y?4?x 所以〈Z,o〉构成群

??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,???????10???10????01??,??0?1???,证明G关于矩阵乘法构成一个群. ?????解:(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2) 矩阵乘法满足结合律

?10?(3)设??01??是单位元,

??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群. 14.设G为群,且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明:G是交换群。

证明:?x,y∈G,设x?ak,y?al,则 所以,G是交换群

17.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。

22?e0,即e0?e0e,由消去律知e0?e 证明:设e0?G也是幂等元,则e018.设G为群,a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明:先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e,

bc)(abc)?a(bc)aa?1?e 即 a(bc)(a左边同乘a?1,右边同乘a得

反过来,设(bac)?e,则(abc)?e.

kk由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣ 19.证明:偶数阶群G必含2阶元。

证明:设群G不含2阶元,?a?G,当a?e时,a是一阶元,当a?e时,a至少是3阶元,因为群G时有限阶的,所以a是有限阶的,设a是k阶的,则a?1也是k阶的,所以高于3阶的元成对出现的,G不含2阶元,G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以,偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群,证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明:先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾;

若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元,则a2?e,a?1?a

?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba,

与G为Abel群矛盾;

所以,G含至少含一个3阶元,设为a,则a?a2,且a2a?aa2。 令b?a2的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群,n≥2,判断下述子集是否构成子群。 (1)全体对称矩阵 是子群 (2)全体对角矩阵 是子群

(3)全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 (4)全体上(下)三角矩阵。 是子群

22.设G为群,a是G中给定元素,a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合,即

N(a)={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N(a)构成G的子群。 证明:ea=ae,e?N(a)??

a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a)

由ax?xa,得x?1axx?1?x?1xax?1,x?1ae?eax?1,即x?1a?ax?1,所以x?1?N(a) 所以N(a)构成G的子群

31.设?1是群G1到G2的同态,?2是G2到G3的同态,证明?1??2是G1到G3的同态。 证明:有已知?1是G1到G2的函数,?2是G2到G3的函数,则?1·?2是G1到G3的函数。 所以:?1·?2是G1到G3的同态。

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