福建省南平市2019届高三第二次（5月）综合质量检查
数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，复数A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C
【解析】分析：由纯虚数的概念，令其实部为0，得，进而可求模长. 详解：
若复数是纯虚数，则所以故选C.
点睛：本题主要考查了复数的概念，属于基础题. 2. 若A.
，是第三象限的角，则 B.
C.
D.
（ ）
，则
， ，所以.
.
，
，若复数是纯虚数，则
（ ）
【答案】D
【解析】分析：由同角三角函数的平方关系，利用两角和的正弦展开求解即可 详解：由所以
，
.
故选D.
3. 命题A.
B.
C.
，命题
D.
，真命题的是（ ）
，是第三象限的角，
【答案】C
【解析】分析：由详解：由当
时，
，则
，
，可知命题为真，由指数函数单调性可知命题为假，从而得解. ，可知命题为真命题；
所以不存在所以故选C.
. 命题为假命题.
为真命题.
点睛：要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假.属于基础题. 4. 如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为
，这四个小圆都与圆内切，且相
邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由圆与圆的位置关系得到小圆半径与大圆半径的比值，利用几何概型的概率等于面积比，列式求解即可.
详解：设小圆的半径为，
根据四个小圆与大圆内切可得，四个小圆互相外切， 可知四边形所以：大圆的面积为：
为正方形，，解得
，四个小圆的面积为
.
.
.
.
由几何概型的的概率公式可得：该点恰好取自阴影部分的概率为故选A.
点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，
但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 5. 过双曲线点，则
上任意点作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于
的面积为（ ）
两点，若为坐标原
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D
【解析】分析：本题采用“小题小做”的方式，在题中没有限定切线的位置时，可以将切线特殊为从而可迅速准确的得解. 详解：过双曲线此时易知切线即为两条渐近线为：即
. .
的面积为
.
上任意点作双曲线的切线，不妨设点为右顶点
.
，
为等腰直角三角形，则
故选D.
点睛：当题中没有限定情况时，我们考虑问题可以从最特殊的情况分析，特殊情况往往可以帮助我们排除错误，选出正确选项.通常这种方法被称为：特殊位置法，在选择题中常常被广泛应用. 6.
的展开式中的常数项为（ ）
A. 20 B. -20 C. 40 D. -40 【答案】C 【解析】分析：先求到详解：由可知要求令令
，得，得
的二项展开的通项，结合条件知求
，
的展开式中的常数项，只需找
的和的项即可，令
的二项展开的通项为：
，求解相加可得常数项. .
.
.
的展开式中的常数项，只需找到， ，
.
的和的项即可.
此时常数项为：故选D.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略