??y??x??x??z??z??y??(?)i?(?)j?(?)k?y?z?z?x?x?y?(2?1)i?(2?1)j?(2?1)k ?i?j?k所以 流线方程为 y=x+c1,z=y+c2
(2) J?wnds?2*0.5*0.0001?0.0001m/s
5.4设在（1，0）点上有???0的旋涡，在（-1，0）点上有????0的旋涡，求下列路线的速度环流。
?2(1)x2?y2?4;(2)(x?1)2?y2?1;(3)x??2,y??2的方框。
（4）x??0.5,y??0.5的方框。解：（1）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以（4）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以???vdl?2?wnds?0
cs??vdl?0
c5.6如题图5.6所示，初始在（0，1）、（-1，0）、（0，1）和（0，-1）四点上有环量?等于常值的点涡，求其运动轨迹。
解：取其中一点（-1，0）作为研究对象。
vCA?vBA?vBA?3?4??4??22??22?vA?vCA?vBAcos45?vBAcos45?
由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为：
v3??ar4?
3?v?wt?t4?w?用极坐标表示为r=1, ??3?t 4?同理，其他点的轨迹与之相同。
5.10如题图5.10所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x轴上各点的诱导速度。
解：令（0，a）点为A点，（0.-a）为B点 在OA段与OB段
?a(cos90?)224?xa?x?av2?(cos0?)224?xaa?x??vx?2(v1?v2)?(x?a2?x2)2?xav1?习题六
6.1平面不可压缩流动的速度场为 （1）vx?y,vy??x; (2) vx?x?y,vy?x?y; (3) vx?x?y,vy??2xy?y;
判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。 解：
22
?存在??V?0?存在?vx?(?vy)??x?y（1）?存在
?vy?x??(vx)??2??x ?y?(?vy)?vx?0......?0??v ?x?yx2?y2????vydx?vxdy?+c
2?(vx)?2????x?y（2）
?(?vy)?(?x?y)?vx?1....???1????x?y?y?（3）
?vy?vy?x??(vx)?0??? ?y3222 ??vxdx?vydy?x/3+x/2-xy-y/2+c （4）
??(?vy)?vx?2x?1....?2x?1 ??? ?x?y ??-vydx?vxdy??y/3+xy+yx+c
6.2证明函数f=xyzt是速度势函数，而且流场不随时间变化。
证：f=xyzt
?321)?2??02)?(??)?0?f是速度势函数流线方程dxdydzdxdydz?????yztxztyxtyzxzyx
?流场不随时间变化6.3有一种二维不可压缩无旋流动，已知vx?kxy，k为常数，求vy。 解：
?无旋???vy?x?vy?x??(vx)?0?y?kx?vy?kx2?cy?vx?(vy)??0 ?x?y?不可压???vy?y??ky?vy?ky2?cx?vy?k(x2?y2)?c6.4已知速度势，求复势和流函数： （1）??Ux?x； 22x?yy；
x2?y2（2）??Ux?(x?a)2?y2（3）??ln；
(x?a)2?y2解：
按题意，应有??w???i?x为均匀流动，叠加一偶极子x2?y2?w?Uz?1/z1)??Ux?i??U(iy)?Im(2)??Ux?z?yiy)?Uyi?2???Uy?z?zx?y2x2?y2y为均匀流动，叠加一偶极子旋转90 x2?y2?w?Uz?i/zi??U(iy)?Im(izxix)?Uyi?2???Uy?z?zx?y2x2?y2(x?a)2?y2223)??ln?lnRe(z?a)?lnRe(z?a)(x?a)2?y2z?a?w?2lnz?ax?a??lnIm(z?a)2?lnIm(z?a)2?lnx?a6.5分析如下流动是由那些基本流动组成： 解：（1）匀直流 点涡 偶极子 （2） 点源 点汇 两点涡 （3）两源一汇
6.6幂函数W?Az,式中A为实常数，n=?/a,?/2,0 W(z)=(1+i)ln(z?1)?(2?3i)ln(z?4)?1/z 求（1）沿圆周x?y=9的速度环量?；（2）通过该园的体积流量 2222n解： W(z)=(1+i)ln(z2?1)?(2?3i)ln(z2?4)?1/z 点涡 i[ln(?zi?)在x?y《9内 222ln?(iz?i)]3z?[lni(?2z)? iln(2)]2?6?[ln(z?i)?ln(z2?i)]?i[ln(z?2i)?ln(z?2i)] 2?2????8? 2?4?点源 [ln(z?i)?ln(z2?i)]?[ln(z?2i)?ln(z?2i)] 2?2?iQ?12?1/z是偶极子无涡无源 6.9直径为2m的圆柱在水下10m深处以速度10m/s做水平运动（见题图6.9），水面大气压 p0?101325N/m2，水密度??1000kg/m3，不考虑波浪影响，试计算A、B、C、D四 点压力。 解： p?p??0.5?v?(1?4sin2?)??g?h对于A,C点pA、C?0.5?v?(1?4sin2?)??g?h?249.4kN/m2对于B，D点pB?0.5?v?(1?4sin?)??g?h?39.6kN/mpD?0.5?v?(1?4sin2?)??g?h?59.2kN/m26.10在题6.9中，圆柱在做水平运动的同时以60r/min的角速度绕自身轴旋转，试决定驻点 的位置，并计算B,D的速度和压力。 解： 22