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《现代控制理论》复习题1
二、（15分）考虑由下式确定的系统： G(s)?s?3 试求其状态空间实现2s?3s?2的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为 能观测标准形为 对角标准形为
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
求其状态转移矩阵。?解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是?1??1,矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值?1??1,取变换矩阵 T???1?2??2，它们是不相同的，故系统的?2??2的特征向量是
?11?， 则 T?1?? ?2??1??????1?1???1?2??1?21???10?因此， D?TAT???
0?2??从而，
解法2。拉普拉斯方法 由于
故 ?(t)?eAt?2e?t?e?2t?L[(sI?A)]???t?2t?2e?2e??1?1Ate?t?e?2t??
?e?t?2e?2t?解法3。凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 e系统矩阵的特征值是-1和-2，故 e?a0(t)I?a1(t)A ?a0(t)?a1(t)e?2t?a0(t)?2a1(t) a1(t)?e?t?e?2t
?t?t?2t解以上线性方程组，可得 a0(t)?2e?e因此， ?(t)?eAt?2e?t?e?2t?a0(t)I?a1(t)A???t?2t??2e?2ee?t?e?2t? ?t?2t??e?2e???Ax?Bu,四、（15分）已知对象的状态空间模型xy?Cx,是完全能观的，请画出观
测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。
解 观测器设计的框图： 观测器方程： 其中：~x是观测器的维状态，L是一个n×p维的待定观测器增益矩阵。
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观测器设计方法：
由于 det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?CL)] 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得A?CL具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。
五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：
TTTTTTT??Ax在平衡点xe?0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称线性时不变系统x正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程AP?PA??Q有惟一的对称正定解P。 在具体问题分析中，可以选取Q = I。 考虑二阶线性时不变系统： ?T?1??01??x1??x ???????2???1?1??x2??xT原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 AP?PA??I
?p11其中的未知对称矩阵 P???p12p12? p22??将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得
进一步可得联立方程组
?p11从上式解出p11、p12和p22，从而可得矩阵 P???p12根据塞尔维斯特方法，可得 ?1?p12??3/21/2???? p22?1/21???5?0 43?02?2?detP?故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是
试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j。 解 系统的状态空间模型是 将控制器 u???k0k1?x 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程
2该闭环系统的特征方程是 det(?I?Ac)???(3?k1)??(2?k0)
期望的闭环特征方程是 (??1?j)(??1?j)???2??2
22通过 ??(3?k1)??(2?k0)???2??2
2可得 3?k1?2从上式可解出 k1??12?k0?2 k0?0
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因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 u??01???x1? ??x2?七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。 证明 对状态空间模型
它的等价状态空间模型具有形式 其中：
T是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是 由于矩阵T是非奇异的，故矩阵?c[A,B]，和?c[A,B]具有相同的秩，从而等价的状态空间模型具有相同的能控性。 八、（15分）在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系统的哪些性能？对系统性能是否也可能产生不利影响？如何解决？
解： 极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。
极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。
改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是 构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。
《现代控制理论》复习题2
二、（20分）已知系统的传递函数为
（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将G(s)写成以下形式： 这相当于两个环节
12s?5和串连，它们的状态空间模型分别为： s?3s?5?1??3x1?u?x?2??5x2?u1?x和??y?x1?1?y??5x2?u1
由于y1?u1，故可得给定传递函数的状态空间实现是： 将其写成矩阵向量的形式，可得：
对应的状态变量图为：
串连分解所得状态空间实现的状态变量图
（2）将G (s)写成以下形式： 它可以看成是两个环节?0.52.5和的并联，每一个环节的状态空间模型分别为： s?3s?5和
由此可得原传递函数的状态空间实现： 进一步写成状态向量的形式，可得： 对应的状态变量图为：
并连分解所得状态空间实现的状态变量图
三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子
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