48 不等式的性质
教材分析
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．
教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．
教学目标
1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．
2. 理解并掌握比较两个实数大小的方法．
3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．
教学设计
一、问题情境
教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．
1. 公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h．
2. 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？
x·［80000－2000（x－25）］≥200000．
3. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则
通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．
二、建立模型 1. 教师精讲，分析
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．
一般地，设ａ，ｂ∈R，则 ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂ
ａ－ｂ＞0， ａ－ｂ＝0， ａ－ｂ＜0．
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．
2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质
（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？ （2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？ （3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来． 用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质： 定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ． 定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ． 定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ． 定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ； 如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．
3. 定理1～4的证明
关于定理1～4的证明要注意： （1）定理为什么要证明？
（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？ （3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．
（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．
4. 考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5
定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．
由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法． 三、解释应用 ［例 题］
1. 已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0． ∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0， ∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
［练 习］
1. 判断下列命题的真假，并说明理由．
（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．
（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．
四、拓展延伸
1. 如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．
2. 如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？
3. 如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）
49 一元二次不等式
教材分析
一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．
教学目标
1. 让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．
2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．
3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．
教学设计
一、问题情境 1. 出示问题
（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．
引导学生建立一元二次不等式模型： 由题意，得销售收入为25ｘ（万元）， 要使生产者不亏本，必须使
3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．
（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．
2. 引导学生建立一元二次不等式模型
设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．
由题意，知70（100－10R）·R％≥112， 即R2－10R＋16≤0．
如何求解以上两个一元二次不等式呢？ 二、建立模型
1. 对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决
设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．