[学生用书P113(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A．?C．?
2?
?2，0?
B．?5?
?2，0?
6?
?2，0?
D．(3，0)
a2＋b2
x2y21
解析：选C．将双曲线方程化成标准方程为－＝1，所以a2＝1，b2＝，所以c＝
112
2＝
66
，故右焦点坐标为?，0?． 2?2?
x2y2
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是
34( )
x22
A．－y＝1
3x2y2
C．－＝1
34
x2
B．y－＝1
3
2
y2x2
D．－＝1
34
解析：选B．由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双x2
曲线的方程为y－＝1．
3
2
x2y2x2y2
3．椭圆＋2＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
4aa21
A．
21
C．1或
2
a＞0，??
解析：选D．依题意：?0＜a＜4，解得a＝1．
??4－a＝a＋2，
22
B．1或－2 D．1
4．已知点A(0，－4)，B(0，4)，|PA|－|PB|＝2a，当a分别为3，4时，点P的轨迹为( ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线
解析：选D．当a＝3时，2a＝6＜8，又|PA|－|PB|＝2a，故点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝4时，2a＝8，又|PA|－|PB|＝2a，故点P的轨迹是一条射线．
5．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
x2y2
A．－＝1
169x2y2
C．－＝1
916
x2y2
B．－＝1(x≥4)
169x2y2
D．－＝1(x≥3)
916
解析：选D．由|MA|－|MB|＝6，且6＜|AB|＝10，得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16． 故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支． x2y2
所以方程为－＝1(x≥3)．
916
6．若点P到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________． 解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c＝3，x2
2a＝2，则a＝1，b＝9－1＝8，所以点P的轨迹方程为y－＝1(y≥1)．
8
2
2
x2
答案：y－＝1(y≥1)
8
2
x2y2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M
412到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：双曲线右焦点为(4，0)， x2y2
将x＝3代入－＝1，得y＝±15．
412所以点M的坐标为(3，15)或(3，－15)， 所以点M到双曲线右焦点的距离为答案：4
y2
8．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，
24
2
（4－3）2＋（±15）2＝4．
则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 4
所以|PF2|－|PF2|＝2，
3所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，
所以|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2， 所以△PF1F2为直角三角形， 且∠F1PF2＝90°， 所以S△PFF＝24．
1
2
答案：24
x2y29．已知－＝－1，当k为何值时：
1－k|k|－3(1)方程表示双曲线；
(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线． 解：(1)原方程可变形为－＝1．
|k|－31－k
要使方程表示双曲线，必须满足(|k|－3)(1－k)＞0，
y2
x2
??1－k＞0??1－k＜0即?或?，解得k＜－3或1＜k＜3． ??|k|－3＞0??|k|－3＜0
(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
??1－k＜0则?，解得1＜k＜3． ??|k|－3＜0
10．焦点在x轴上的双曲线过点P(42，－3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线焦点在x轴上，
x2y2
所以设双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
ab因为双曲线过点P(42，－3)， 329
所以2－2＝1．①
ab
又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直， →→所以QF1·QF2＝0， 即－c2＋25＝0． 解得c2＝25．②