成都树德中学（成都九中）2016年外地生自主招生考试数学试题
考试时间：120分钟，满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知a,b满足a2?2a?5=0,b2?2b?5=0,且a≠b,则a+b+3的值是（ ） （A） (B)? （C） (D)? 5
5
5
5
1
1
2
2
b
a
2、若关于x的不等式组
x?m<0的整数解共有4个，则关于x的一元二次方程x2?8x+m=0的根的情况是（ ）
7?2x≤1
（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根 （C）没有实数根 （D）有一正一负根
3、在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为()
A. B. C. D.
4、如图在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为()所示，O1的半径为3，圆O2的半径为1，两圆外切于点P，从O1上的点A作圆O2的切线AB,B为切点，连AP并延长，与圆O2交于点C，则AC( ) A. B. C. D.
2
5
5
1
32
4
3
AB
5、如果实数a,b,c满足：a+b?2 a?1?4 b?2=3 c?3?2c?5,则a+b+c的值是（ ） A.2 B.20 C.6 D.2 5
6、如图,一根木棒AB长为8斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,与地面的倾斜角∠ABO=60°,若木棒沿直线NO下滑,且B端沿直线OM向右滑行,则木棒中点P也随之运动,已知A端下滑到A′时,AA′=4 3?4 2，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长为（） (A)3 (B)7、
π
16 3?24
13
1
(C)
2 3?1
5
(D)2
1
8、已知相互垂直的直线、已知相互垂直的直线L1:y=k1x+2?k1与L2:y=k2x+2?3k2交于点P，O为坐标原点，则op的最大值是（）
A. 13 B. 3+2 C.4 2+9 D.2 2+1
9、若图所示，O,I分别表示△ABC的外心与内心，已知∠OIB=30°，则∠BAC= A.30° B.45° C.60° D.75°
10、若实数x、y满足关系式2xy?x?y=2,则x2+y2的最小值为() A. 3? 5B. 3+ 5C. 8+4 3D. 8-4 3 11、已知函数y=cosx,a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，且a2+b2≤c2,则下列不等式一定成立的是（） （A）cos(sinA)≤cos?(cosB) (B)cos?(sinA)≤cos?(sinB)
(C)cos cosA ≤cos sinB (D)cos?(cosA)≤cos?(cosB) 12、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A. C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA于D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,则下列结论：①AG=CH;②GH=;③直线GH的函数关系式
310
y=?x+;④梯形ABHG的内部有一点P,当☉P与HG、GA、AB都相切时,☉P的半径为.其中正确的有()
4
4
2
351
（A） 1个(B) 2个(C) 3个(D)4个 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13、已知抛物线y?12x?(b?2)x?2x?2向右平移2个单位后得到抛物线?，?经过点A(4,0).设点C(1,?3)，2请在抛物线?的对称轴上确定一点D，使得AD?CD的值最大，则D点的坐标为___________________. 14、端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。某校数学兴趣小组调查了4位同学，他们的口味各有偏好，其中：小军只爱吃肉馅粽子，小丽只爱吃糖馅粽子，小童只爱吃豆沙馅粽子，小雨只爱吃枣馅粽子。现在桌子上有四只外表和重量完全一样的肉馅、糖馅、豆沙馅，枣馅粽子个一只，让四个同学各选一只，则所有同学拿到的都是自己不喜欢的口味的粽子的概率是_____________。 15、设函数y1和y2是定义在同一个取值范围a?x?b上的两个函数，当函数y1?y2?0在a?x?b上有两个不2同的解时，则称函数y1和y2是在a?x?b上的“关联函数”.若y1?x?mx?4和y2??2x?m在0?x?3上是“关联函数”，则m的取值范围是________________. 16、Rt?ABC的两直角边AB,BC长分别为4,6，其内部一点O与两边距离均为2，p在以O为圆心，1为半径的圆上运动，则PA?PB?PC的最小值是_________________.
2
222三、解答题（共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡上的指定区域内） 17、（本题满分10分，每小题5分） 22（1）已知锐角?满足：sin??sin?cos??2cos??0.求(tan??2sin45?1)?1?tan??18?82的??1值. x4?tx2?1?2，求t的值. （2）已知x?4x?1?0，且32x?tx2?2x2 18、（本题满分12分） 数学史上流传着许多“数学王子”高斯（Gauss）的故事，其中他十岁时快速计算1?2?3???99?100最广为人知.他的算法是(1?100)?(2?99)?(3?98)?...?(99?2)?(100?1)101?100??5050. 22（1）我国古代的数学文献中早已多次出现过这种算法，比如《章丘建算经》中的“织女问题”；《九章算术》“均输”一章的“金箠”，“竹九节”，“五人分钱”问题；《周脾算经》中的“七衡图”等.其中《章丘建算经》中的“织女问题”如下：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.” （2）在现代生活中，仍要用这种算法：初三同学参加毕业照的拍摄.假设某校两个毕业班的师生共100人排毕业照留念，摄影师要求排列成前多后少的梯形阵（不少于三排），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的每个人都站在前一排两人间的空挡处，请替排队组织者计算，满足摄影师要求的排法的方案有多少种？每种方案各有几排，人数最少的最后排有多少人？
3
19、（本题满分12分）
如图，已知A. B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x.
(1)若△ABC为直角三角形，求x的值； (2)探究：△ABC的最大面积?
20、（本题满分12分）
b，b?c?a?2cacosB，新信息一：设?ABC的三边BC，CA，AB长度分别为a，c.则a?b?c?2bccosA，
222222c2?a2?b2?2abcosC，我们称其为余弦定理，可见勾股定理是其特殊情况：
?新信息二：????180，则cos???cos?，即两角互补，他们的余弦值互为相反数.
根据以上信息完成下列问题：
（1）已知平行四边形ABCD，两对角线长为AC,BD.求证：AC?BD?AB?BC?CD?DA； （2）设?ABC的BC边上的中点为M，推导其中线AM的长度m的公式（即用a，b，c表示出m） （3）已知?ABC的两边b?4，c?3，且BC边上的中线AM的长度为m?3，求cos?BAC.
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22222221、（本题满分12分）如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA=AB=BC,∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点。 (1)连接PA、PE，求证：PA=PE； (2)连接PC,若PC+PE=23，试求AB的最大值； (3)在(2)在条件下,当AB取最大值时,如图2,点M坐标为(0,?1)，点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围。
5