【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题4 立体几何（第2讲）
课时作业 新人教A版
一、选择题 1．(2013·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，则“n⊥β”是“α⊥β”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析]
m⊥α??
??n∥α或n?α? m⊥n??α⊥β.
n⊥β
?
??
α⊥β??
??m∥β或m?β
?m⊥α??/ n⊥β.
m⊥n
?
??
2．(2014·重庆理，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 C．66 [答案] [解析]
B．60 D．72 B
如图所示
该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面积为S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED5＋2×42＋5×53×53×4
＋SRt△DEF＝2＋3×5＋＋＋2＝60. 22
3．(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题： ①若n∥m，m?α，则n∥α；
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②若α∥β，n?β，n∥α，则n∥β； ③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；
④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β. 其中真命题是( ) A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ [答案] C
[解析] 若n∥m，m?α，则n∥α或n?α，即命题①不正确，排除A、B；若α∥β，n?β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排除D，故应选C.
(理)已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β [答案] C
[解析] 对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不一定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m?β，m∥β，也可能m与β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正确．
4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )
A.2 11C.2
6B.2 5D.2
[答案] B
[解析] 由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四面体外接球的直径，∵A′E＝A′F＝1，A′D＝2，∴(2R)2＝126
＋12＋22＝6，∴R＝2. 5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 [答案] B
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[解析] ①过A、C作BD的垂线AE、CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵AB
6．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )
A．2 B.3 C.2 D．1 [答案] D
[解析] 本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解．连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥AC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE于H，CH为所求．在△EOC中，EC＝2，CO＝2，所以CH＝1.本题解答体现了转化与化归的思想，注意等积法的使用．
(理)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是侧棱PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( ) 12A.3 B.3 3C.3
2D.3
[答案] C
[解析] 设AC与BD的交点为O，∵棱锥的各棱长都相等，
2
∴O为BD中点，∴EO∥PD，∴∠AEO为异面直线AE与PD所成的角，设棱长为1，则AO＝2，13OE3EO＝2，AE＝2，∵AO2＋EO2＝AE2，∴cos∠AEO＝AE＝3.
二、填空题
7．a、b表示直线，α、β、γ表示平面． ①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；
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⑤若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β. 其中为真命题的是__________． [答案] ②⑤
[解析] 对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只②⑤是正确的．
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1底面是边长为6的正三角形，侧棱垂
于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
明，垂有直
[答案] 33
[解析] 4πR2＝12π，∴R＝3，△ABC外接圆半径r＝2，∴柱高h＝2R2－r2＝2，∴体积3
V＝4×(6)2×2＝33.
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是______________． 3??3
[答案] ?，?
?42?
R＋h＝1??
[解析] 当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则?1，
R2－h2＝?2?3333
∴R＝4，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R＝2，∴R∈[4，2]． 三、解答题 10．(文)(2014·江苏，16)如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC.
[解析] (1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点，则有PA∥DE， 又PA?平面DEF，DE?平面DEF， 所以PA∥平面DEF.
(2)由(1)PA∥DE，又PA⊥AC，所以DE⊥AC， 11
又F是AB中点，所以DE＝2PA＝3，EF＝2BC＝4， 又DF＝5，所以DE2＋EF2＝DF2，所以DE⊥EF，
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EF、AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE⊥平面ABC， 又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. (理)(2013·内江模拟)已知ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD.
(1)求证：PF⊥DF；
(2)若PD与平面ABCD所成角为30°，在PA上找一点G，使EG∥平面PFD，并求出AG的长． [解析] (1)证明：连接AF，∵PA⊥平面ABCD，且DF?平面ABCD，∴DF⊥PA， 又F为BC中点，BC＝4，AB＝2， ∴BF＝BA，∴∠AFB＝45°， 同理∠DFC＝45°，
∴∠AFD＝90°，即DF⊥AF，∴DF⊥平面PAF. 又PF?平面PAF，∴PF⊥DF.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA就是PD与平面ABC所成角． 4
∴∠PDA＝30°，∴PA＝33.
延长DF交AB延长线于H，连接PH，则平面PDF就是平面PHD，在平面PAH内，过E作EG∥PH交PA于G.
∵EG∥PH，PH?平面PHD，∴EG∥平面PHD， 即EG∥平面PDF，故点G为所求． AGAE13∴AP＝AH＝4，∴AG＝3.
一、选择题 11．(文)(2013·吉大附中模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列
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