命题中正确的是( ) A．m∥n，m⊥α?n⊥α
B．α∥β，m?α，n?β?m∥n C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β [答案] A
[解析] 由线面垂直的性质定理知A正确；如图1知，当m1?β，m1∩n＝A时满足B的条件，但m与n不平行；当m⊥α，m⊥n时，可能有n?α；如图2知，m∥n∥l，α∩β＝l时满足D的条件，由此知D错误．
(理)设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
?α ⊥β?
???m⊥β ①?β∥γ ②?α∥γ?m∥α??
?α∥β?
m∥n????α⊥β ④??m∥α ③
??m∥β?n?α?
其中，真命题是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ [答案] C
[解析] ①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正确，由线面平行，垂直关系判断正确；④错误，m也可能在α内．综上所述，正确的命题是①③，故选C. 12．(文)(2013·西城区模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是( )
m⊥α??
A．线段 B．圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 [答案] B
[解析] |AP|＝A1P2－AA21＝A1E2－A1B21＝|B1E|(定值)，故点P在底面ABCD内运动形成
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的图形是圆弧． (理)(2013·保定市模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 [答案] A
MCDD12MC
[解析] 由∠DPD1＝∠CPM得PC＝DP＝DP，
PD
∴PC＝2，在平面ABCD内，以D为原点，DA、DC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设DC＝1，P(x，y)，
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∵PD＝2PC，∴x2＋y2＝2x2＋y－12，整理得x2＋(y－3)2＝9，所以，轨迹为圆的一部分，故选A. 13．(2013·苍南求知中学月考)已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列4个命题：①若m∩n＝A，A∈α，B∈m，则B∈α；②若m?α，A∈m，则A∈α；③若m?α，m⊥β，则α⊥β；④若m?α，n?β，m∥n，则α∥β，其中真命题为( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ [答案] C
[解析] ②∵m?α，∴m上的点都在平面α内，又A∈m，∴A∈α，∴②对；由二面垂直的判定定理知，③正确． 二、解答题
14．(文)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝2AC. (1)求证：CN∥平面AMB1； (2)求证：B1M⊥平面AMG.
[证明] (1)如图取线段AB1的中点P，连接NP、MP， 1
∵CM綊2BB1， 1
NP綊2BB1，
∴CM綊NP，
∴四边形CNPM是平行四边形． ∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1， ∴CN∥平面AMB1.
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(2)∵CC1⊥平面ABC，
∴平面CC1B1B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B， ∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC，
平面A1B1C1∥平面ABC， ∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，
设AC＝2a，则CC1＝22a，
在Rt△MCA中，AM＝CM2＋AC2＝6a. 在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋C1M2＝6a. ∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∴AB1＝B1B2＋AB2＝C1C2＋AB2＝23a. ∵AM2＋B1M2＝AB21，∴B1M⊥AM. 又∵AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG.
(理)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B1C1的中点，点P在棱A1C1上运动．
(1)试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；
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(2)在(1)的条件下，若AA1 [解析] (1)当点P为A1C1的中点时，AB∥平面PNC. ∵P为A1C1的中点，N为B1C1的中点，∴PN∥A1B1∥AB ∵AB?平面PNC，PN?平面PNC，∴AB∥平面PNC. (2)设AA1＝m，则m<2，∵AB、BC、BB，两两垂直， ∴以B为原点，BA、BC，BB1为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)， ∴P(1,1，m)，设平面BCP的法向量n＝(x，y，z)， →→ 则由n·BP＝0，n·BC＝0，解得y＝0，x＝－mz， → 令z＝0，则n＝(－m,0，－1)，又B1C＝(0,2，－m)， 10 直线B1C与平面BCP所成角正弦值为10， 10|n·B1C|∴10＝|n|·|B1C|，解之得m＝1 ∴n＝(－1,0,1) 易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1) - 8 - n·n111 cosα＝|n|·＝，设二面角的平面角为θ，则cosθ＝－|n1|22，∴θ＝120°. 15．如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直(图1)，图2为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角． (1)根据图2所给的正(主)视图、侧(左)视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； BECF (2)图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点，且EP＝FA，求证：EF∥平面PDA. [解析] (1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形(如图)． 其面积为6×6＝36cm2. (2)连接BF，延长BF与AD交于G，连接PG. 如图，在正方形ABCD中， BFCFFG＝FA， BECFBFBE又因为EP＝FA，所以FG＝EP， 故在△BGP中，EF∥PG， 又EF?平面PDA，PG?平面PDA， 所以EF∥平面PDA. 16．(文)(2013·辽宁文，18)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点． - 9 - (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. [解析] (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC， 由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. (2)连OG并延长交AC于M，连接QM、QO， 由G为△AOC的重心，得M为AC中点． 由Q为PA中点，得QM∥PC， 又O为AB中点，得OM∥BC. 因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO， MO?平面QMO，BC∩PC＝C， BC?平面PBC，PC?平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC， 因为QG?平面QMO. 所以QG∥平面PBC. (理)(2013·天津六校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC1 ＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝2AD＝1，CD＝3. - 10 -