而 0!1!
。
；
0,若若 试求随机变量Y的分 即Y的分布律为
3. 设X的密度函数为 2x,0,
其他,
求以下随机变量的密度函数：（1）2X；（2）； （3）X2。
解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果为单调可导函数，则也可利用性质求得。 （1）解法一：设，则Y的分布函数
0y
y y2
y2
其他 y1
解法二：，，而，则 22
= 22 2 0,其他
，
其他0（2）设YY的密度
，则
函数
其他
其他 （3）设，由于X只取中的值，所以也为单调函数，其反函数，因此Y的密度函数为 2y
0,
其他0
其他 = 0, 4. X服从上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。 解 圆面积，由于X均匀取中的值，所以X的密度函数
其他. 且为单调增加函数，其反函数
， 2yy
Y的密度函数为 1
其他,
其他.0,
5. 设随机变量，试求随机变量的函数的密度函数。
， 解 ，所以此时不为单调
函数不能直接利用性2质求出。须先求Y的分布函数。
0,
其他,
1
0,
e,
其他.
7. 设X服从，证明服从其中为两个常数且
。 证明 由于所以，记，则当时，
,因此Y的密度函数为为单增函数，其反函数 6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数的密度函数。
解 其他.0, 1
的反函数，因此所求的Y的密度函数为
其他,
= y 其他. 0,
1
即证明了。
e
2 1
e
，
1,若；0
0 8. 设随机变量X在区间
若
试求随机变量函数Y的分布律。 1
解 ，则其他. 0,01 而
；
212
033
因此所求分布律为 9. 设二维随机变量
1 ０ ０ 8 11 ０ ３ 88
求以下随机变量的分布律：（１）
上服从均匀分布，随机变量
若
；
；
。
；（２）；（３）2X；（４）XY。
（1）
（２）
由此得2X的分布律为 （４）
１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，
（１）记随机变量，求Z的分布律； （２）记随机变量，求U的分布律。 从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。
解（１）由于，且Ｘ与Ｙ独立，由分布
可加性知，即２