。
解：（1）
（2）
，求
。
15. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,1)，解
16. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式
及按公式
算得的EX值相等。这里，f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。 证明
17. 设X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计的值。 D(X)2.51 解
18. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计的值。 解
所以
21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年 解
x1!
x6!
2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 （1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 （1） 0 其他
（2）T1和T4是，T23不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数而T2和T3中含有未知参数。 1n161（3）样本均值
221n162样本方差
，
样本标准差。 22 3. 查表求，，t0.99(12)，t0.01(12)。
，，，。 解
4. 设，求常数c，使。 解 由t分布关于纵轴对称，所以即为。 由附表5.6可查得
，所以。
5. 设是来自正态总体的样本，试证： （1）1
；
（2）。
证明：
（1）独立同分布于，由分布的定义，，
即。 （2）易见，
，即，即，由分布的定义，
。
6. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个
都服从。
服从分布，并指出它的自由度； （1）试给出常数c，使得 （2）试给出常数d，使得
服从t分布，并指出它的自由度。
解
2（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从
分布，即1；自由
度为2。 （2）由于，则
，又。
2
与相互独立，则 即
即，自由度为3。 2 7. 设是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求
（2）解 （1）
：（1）；（3）
，其中
。
；
（2）
（3）
3
ES
-
8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：
（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解
（1）引入新变量：
，第i个样本居民年收入超过1万
0，第i个样本居民年收入没超过1万 其中 易见：
，其中
又因立。
，故可以近似看成有放回抽样，
相互独
样本中年收入超过1万的比例即为，由于即，所求概率即为
（2）同（1）解法 引入新变量：
，第i个样本居民受过高等教育
0，第i个样本居民未受过高等教育 其中
较大，可以使用渐近分布求解，
答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。
习题十解答 1. 设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计： （1），其中p未知，； （2），其中未知，。 。 解 （1），故p的矩估计量有p 另，X的分布律为， 故似然函数为
对数似然函数为：
令
。 解得p的最大似然估计量
可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
。 （2），令，故的矩估计量另，X的密度函数为
故似然函数为
L
对数似然函数为
。 解得的最大似然估计量
可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求求。 解 ，故的矩估计量 由样本观测值可算得
另，X的分布律为 x!
故似然函数为
对数似然函数为
解得的最大似然估计量 。 故的最大似然估计值 3. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中0未， 知，求的矩估计。
。 解 ，令，故的矩估计量
4. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
其他0
其中未知，求的矩估计。
。 ，令，故的矩估计量为 5. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
其他0
其中未知，求
其他