第四篇 三角函数与解三角形 专题4.04 三角函数的图象与性质
【考试要求】
1.能画出三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；
ππ
－，?上的性质. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在??22?【知识梳理】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π?3π
，1，(π，0)，?，－1?，(2π，0). (1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，??2??2?π?3π
，0，(π，－1)，?，0?，(2π，1). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，??2??2?2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴方程 【微点提醒】 1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴1
之间的距离是个周期.
4
1
R [－1，1] 2π 偶函数 [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] π{x|x∈R，且 x≠kπ＋} 2R π 奇函数 R [－1，1] 2π 奇函数 ?2kπ－π，2kπ＋π? 22???2kπ＋π，2kπ＋3π? 22??(kπ，0) πx＝kπ＋ 2?kπ－π，kπ＋π? 22??无 ?kπ＋π，0? 2??x＝kπ ?kπ，0? ?2?无
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
ππ
kπ－，kπ＋?(k∈Z)内为增函数. 2.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间?22??【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( ) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( ) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( ) (4)y＝sin|x|是偶函数.( )
【教材衍化】
2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1 C.T＝π，A＝2
D.T＝2π，A＝2
3.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan?3π
?2x－4??的单调递减区间为________.
【真题体验】
4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin??
2x＋π
3??的最小正周期为( ) ) 2
A.4π B.2π C.π
D.π2
5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝1
5sin??x＋π3??＋cos??x－π6??的最大值为( ) A.6
5 B.1
C.35 D.15
6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)??－π2<φ<π2?? 的图象关于直线x＝π
3对称，则φ的值是________.
【考点聚焦】
考点一 三角函数的定义域
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan??2x＋π
6??的定义域是( ) A.?
??
x|x≠π?6??
B.?
??
x|x≠－π?12??
C.??
?x|x≠kπ＋π）?
6（k∈Z? D.???
x|x≠kππ?
?
2＋6（k∈Z）??
(2)不等式3＋2cos x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝64－x2＋log2(2sin x－1)的定义域是________.
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