高考理科数学《数列》题型归纳与训练
【题型归纳】
等差数列、等比数列的基本运算
题组一 等差数列基本量的计算
例1 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn＋2?Sn=36，则n= A．5 C．7 【答案】D
【解析】解法一：由题知Sn?na1?2)2?n2=4n＋4=36，所以n=8.
解法二：Sn＋2?Sn=an＋1＋an＋2=2a1＋(2n＋1)d=2＋2(2n＋1)=36，解得n=8.所以选D． 【易错点】对Sn＋2?Sn=36，解析为an＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算
例2 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2?1,a8?a6?2a4，则a6的值是________． 【答案】4
【解析】设公比为q(q≠0)，∵a2=1，则由a8?a6?2a4得q?q?2q，即q?q?2?0，解得q2=2，
4∴a6?a2q?4.
B．6 D．8
n(n?1)d?n?n?n?1??n2，Sn＋2=(n＋2)2，由Sn＋2?Sn=36得，(n＋264242【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】
等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：
(1)设基本量a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
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等差数列、等比数列的判定与证明
题组一 等差数列的判定与证明
例1设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项． (1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)若bn=?n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值． 【答案】(1)见解析；(2) 当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2Sn=a2n＋an，且an>0， 当n=1时，2a1=a21＋a1，解得a1=1； 当n≥2时，有2Sn?1=a2n－1＋an?1，
所以2an=2Sn?2Sn?1=a2n?a2n－1＋an?an?1，
所以a2n?a2n－1=an＋an?1，即(an＋an?1)(an?an?1)=an＋an?1，
因为an＋an?1>0， 所以an?an?1=1(n≥2)．
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知an=n，
设cn=an·bn，则cn=n(?n＋5)=?n2＋5n=???n－52??2＋25
4， 因为n∈N*，
所以当n=2或n=3时，{an·bn}的最大项的值为6.
【易错点】Sn是a2n和an的等差中项，无法构建一个等式去求解出an。 【思维点拨】
等差数列的判定与证明的方法：
①定义法：an?1?an?d(n?N*)或an?an?1?d(n?2,n?N*)??an?是等差数列； ②定义变形法：验证是否满足an?1?an?an?an?1(n?2,n?N*)；
③等差中项法：2a*n?1?an?an?2(n?N)??an?为等差数列；
④通项公式法：通项公式形如an?pn?q(p,q为常数)??an?为等差数列； ⑤前n项和公式法：Sn?pn2?qn(p,q为常数)??an?为等差数列．
注意：
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（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an,an?1,an?2，使得2an?1?an?an?2即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 题组二 等比数列的判定与证明
例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn＋1=4an＋2. (1)设bn=an＋1?2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1)见解析；(2) an=(3n?1)·2n?2.
【解析】(1)由a1=1及Sn＋1=4an＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2. ∴a2=5， ∴b1=a2?2a1=3.
又???Sn＋1＝4an＋2， ①??Sn＝4an－1
＋2， ②
①?②，得an＋1=4an?4an?1， ∴an＋1?2an=2(an?2an?1)． ∵bn=an＋1?2an， ∴bn=2bn?1，
故{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知bn=an＋1?2an=3·2n?1， ∴
an＋1an2n＋1?2n=3
4
， 故??an?13
?2n??
是首项为2，公差为4的等差数列．
∴an133n－1
2n=2＋(n?1)·4=4， 故an=(3n?1)·2n?2.
【易错点】对于bn=an＋1?2an，在条件中无法构造出来，等比数列的判定与证明常用的方法不清楚.【思维点拨】
等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：
an?1a?q(q为常数且q?0)?数列{an}是等比数列． n（2）等比中项法：a2*n?1?an?an?2(n?N,an?0)?数列{an}是等比数列．
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