单摆的非线性动力学分析
张 亚 兵
<兰州交通大学 车辆工程专业，甘肃 兰州，
730070）
摘 要: 研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响.对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助李雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况.再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况.2RpTFbdC9Rb5E2RGbCAP 关键词: 单摆；振动； 阻尼； 驱动力
Abstract: The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an
approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion
simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement.2RpTFbdC9Rp1EanqFDPw Key words: simple pendulum。 vibration。 damp。 drive force2RpTFbdC9RDXDiTa9E3d 1 引言
单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动<摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解读解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解读的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动.随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至时, 加速度取极小值.本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的
非线性运动, 得出了 在运动过程中的关系. 2RpTFbdC9RRTCrpUDGiT
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图1 单摆模型
2单摆的线性情况
2.1线性单摆的无阻尼振动
如图<1）所示，一根不会伸缩、长度为的细线，上端固定<或一根刚性轻杆，上端与无摩擦的铰链相连），下端悬挂一质量为的小球就构成一单摆.当摆角很小时，，单摆作简谐振动，令，其运动方程为2RpTFbdC9R5PCzVD7HxA <1）
式中，
称为单摆的固有圆频率，其周期为
<2）
式(1>对时间求一阶导数，得小球的速度
<3）
由式(1>与式(3>得
<4）
上式表明单摆的速度—位移曲线图(通常称为相图[2]>为一椭圆[3].
图2 图无阻尼单摆的相平面轨迹
2.2线性单摆的阻尼振动
当小球摆动的速度较小时，小球受到一个与速度方向相反的阻力, ，为阻力系数，它与物体的形状以及周围媒质的性质有关.根据牛顿第二定律有2RpTFbdC9RjLBHrnAILg
式中，<
<5）
称为阻尼因数.对于一定振动系统，根据比值
）小于、等于、大于1，则称单摆处于欠阻尼、临界阻尼和过
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阻尼振动状态.设振动系统的周期，初始条件
m,，取=0.3.2RpTFbdC9RxHAQX74J0X 用Matlab软件中的函数，\与“ezplot”可求出单摆阻尼振动方程并描绘振动曲线及其相图.2RpTFbdC9RLDAYtRyKfE
图3线性单摆的欠阻尼振动曲线及其相图 线性单摆在临界阻尼，过阻尼状态下的振动曲线及振动相图，只需改变相应的取值即可 3 有阻尼和有驱动力单摆的运动分析 有阻尼和有驱动力单摆的运动方程为 (6> 在任意大振幅下，方程(6>的解变得十分复杂，下面利用计算机模拟，分别讨论单摆运动随初值的变化和其混沌运动.2RpTFbdC9RZzz6ZB2Ltk 3.1 初值不同所产生的曲线 为简单计，设，当t=0时，两振动初始条件相差极小，有 (7>2RpTFbdC9RdvzfvkwMI1 取，对(6>式在初始值(7>式下利用MATLAB绘图，其化曲线如图4所示(其中实线为，虚线为>. 变 3 / 8