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2019年03月25日体验的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共13小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA． （1）试求∠DAE的度数．
（2）如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？
【分析】（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，是等腰直角三角形，所以∠B＝∠ACB＝45°，根据其他边相等可求出解． （2）可表示出角，看看和AB＝AC有没有关系．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵BD＝BA，CE＝CA．
∴∠BAD＝（180°﹣45°）÷2，∠CAE＝45°÷2， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD+∠CAE＝45°． （2）不变． ∠DAE＝90°﹣
+∠ACB＝（∠B+∠ACB）＝45°，
从上式可看出当AB和AC不相等时，∠B+∠ACB也是定值为90°． 所以不变．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及直角三角形的角的特点． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝82°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD、AE，求∠D，∠E，∠DAE的度数．
【分析】由题意知△ABD和△ACE均为等腰三角形，可由三角形内角和定理求得∠BAC的度数，用三角形的外角与内角的关系求得∠D与∠E的度数，即可求得∠DAE
1
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的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝82°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣82°＝38°， ∵DB＝BA，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°， ∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝41°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝30°+38°+41°＝109°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角、三角形的外角与内角的关系、三角形的内角和定理是正确解答本题的关键．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB′O≌△CDO．
【分析】（1）根据题意，结合图形可知等腰三角形有△ABB′，△AOC和△BB′C； （2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，∠ABC＝∠D，又因为，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，故AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C，则可证△AB’O≌△CDO．
【解答】解：（1）△ABB′，△AOC和△BB′C；
（2）在?ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠D， 由轴对称知AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C， ∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D． 在△AB′O和△CDO中
，
∴△AB′O≌△CDO（AAS）．
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【点评】此题是一道把等腰三角形的判定、平行四边形的性质和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力． 4．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是 FG﹣DC＝AD ； （3）在（2）的条件下，若AG＝
，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合
并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝，求线段PQ的长．
【分析】（1）首先证明∠CBE＝∠DAC，∠AGF＝∠BAD可推出FA＝FG； （2）与（1）证明方法同理；
（3）首先证明△FDC为等腰直角三角形，然后证明四边形DFHB为矩形．根据三角函数的计算得出． 【解答】证明：
（1）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， ∴AD＝BD ∵∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠C＝90°， ∵∠DAC+∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠DAC， ∵GF∥BD，
∴∠AGF＝∠ABC＝45°， ∴∠AGF＝∠BAD，
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∴FA＝FG，
∴FG+DC＝FA+DF＝AD；
解：（2）FG﹣DC＝AD；
（3）如图， ∵∠ABC＝135°， ∴∠ABD＝45°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴AD＝BD， ∵FG∥BC，
∴∠G＝∠DBA＝∠DAB， ∴AF＝FG ∴AG＝5
，FG+AF＝AG，
2
2
2
∴FG＝AF＝5
∵DC＝3由（2）知FG﹣DC＝AD， ∴AD＝BD＝2，BC＝1，DF＝3， ∴△FDC为等腰直角三角形 ∴FC＝
，
分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K， ∴四边形DFHB为矩形， ∴HF＝BD＝2 BH＝DF＝3， ∴BH＝HG＝3， ∴BG＝∵sinG＝∴NK＝×∴BK＝
，
＝
，
∵∠MBN＝∠HBG＝45°， ∴∠MBH＝∠NBK，
4