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解得：x＝6或x＝﹣1（舍去）， ∴AD＝6，
则S△ABC＝BC?AD＝15．
【点评】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．难度稍大，考查学生综合运用数学知识的能力． 7．如图（1），Rt△AOB中，
，∠AOB的平分线
OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
【分析】（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；
（2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t＜2，过P作PH⊥OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t＝2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可
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④t＝4时，求出即可；
（3）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案．
【解答】（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2∴∠B＝30°， ∴OA＝OB＝
，
，
由勾股定理得：AB＝3， ∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B， ∴OC＝BC，
在△AOC中，AO+AC＝CO， ∴
+（3﹣OC）＝OC，
2
2
2
2
2
∴OC＝2＝BC， 答：OC＝2，BC＝2．
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2， 则CP＝2﹣t，CQ＝t， 过P作PH⊥OC于H， ∠HCP＝60°， ∠HPC＝30°，
∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×即S＝﹣
t+
2
（2﹣t）， （2﹣t），
t；
②当t＝2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在， ∴S＝0，
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③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4， 过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z， ∵CO＝2，∠NOC＝60°， ∴CZ＝
，
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2， ∠NOC＝60°， ∴∠GPO＝30°，
∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝
（4﹣t），
﹣×（t﹣2）×
（4﹣t），
∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×即S＝
t﹣
2
t+．
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K， ∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2， ∴CM＝BC＝1， 有勾股定理得：BM＝∵OB＝2∴OM＝2
， ﹣
＝
＝CK，
＝
；
，
∴S＝PQ×CK＝×2×
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综合上述：S与t的函数关系式是：S＝．
（3）解：如图（2），∵ON⊥OB， ∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°， ∴∠AOB＝60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°， ∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°， ①OM＝PM时， ∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°， ∴OP＝2OQ， ∴2（t﹣2）＝4﹣t， 解得：t＝， ②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°， ∴∠MPO＝120°， ∵∠QOP＝60°， ∴此时不存在； ③OM＝OP时， 过P作PG⊥ON于G， OP＝4﹣t，∠QOP＝60°， ∴∠OPG＝30°，
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；
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∴GO＝（4﹣t），PG＝
（4﹣t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP， ∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°， ∴PG＝QG＝
（4﹣t），
∵OG+QG＝OQ， ∴（4﹣t）+解得：t＝
（4﹣t）＝t﹣2，
时，△OPM是等腰三角形．
综合上述：当t为或
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，解一元一次方程，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，本题综合性比较强，难度偏大，主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，并且运用了方程思想和分类讨论思想．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
【分析】依据在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，即可得到AD＝BD，进而得出∠A＝∠ABD，再根据∠A＝∠CED，即可得到∠ABD＝∠CED． 【解答】证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点， ∴
，
．
∴AD＝BD． ∴∠A＝∠ABD， ∵DE⊥AC，
∴∠CED+∠C＝90°． ∵∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠CED， ∴∠ABD＝∠CED．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上
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