2019年03月25日体验的初中数学组卷 (1)

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解得:x=6或x=﹣1(舍去), ∴AD=6,

则S△ABC=BC?AD=15.

【点评】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题.难度稍大,考查学生综合运用数学知识的能力. 7.如图(1),Rt△AOB中,

,∠AOB的平分线

OC交AB于C,过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动. (1)求OC、BC的长;

(2)设△CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式;

(3)当P在OC上Q在ON上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.

【分析】(1)求出∠B,根据直角三角形性质求出OA,求出AB,在△AOC中,根据勾股定理得出关于OC的方程,求出OC即可;

(2)有四种情况:①当P在BC上,Q在OC上时,t<2,过P作PH⊥OC于H,求出PH,根据三角形的面积公式求出即可;②当t=2时,P在C点,Q在O点,此时,△CPQ不存在;③当P在OC上,Q在ON上时,过P作PG⊥ON于G,过C作CZ⊥ON于Z,求出CZ和PG的值,求出△OCQ和△OPQ的面积,相减即可

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④t=4时,求出即可;

(3)有三种情况:①OM=PM时,求出OP=2OQ,代入求出即可;②PM=OP时,此时不存在等腰三角形;③OM=OP时,过P作PG⊥ON于G,求出OG和QG的值,代入OG+QG=t﹣2,即可求出答案.

【解答】(1)解:∵∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2∴∠B=30°, ∴OA=OB=

由勾股定理得:AB=3, ∵OC平分∠AOB,

∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B, ∴OC=BC,

在△AOC中,AO+AC=CO, ∴

+(3﹣OC)=OC,

2

2

2

2

2

∴OC=2=BC, 答:OC=2,BC=2.

(2)解:①当P在BC上,Q在OC上时,0<t<2, 则CP=2﹣t,CQ=t, 过P作PH⊥OC于H, ∠HCP=60°, ∠HPC=30°,

∴CH=CP=(2﹣t),HP=∴S△CPQ=CQ×PH=×t×即S=﹣

t+

2

(2﹣t), (2﹣t),

t;

②当t=2时,P在C点,Q在O点,此时,△CPQ不存在, ∴S=0,

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③当P在OC上,Q在ON上时2<t<4, 过P作PG⊥ON于G,过C作CZ⊥ON于Z, ∵CO=2,∠NOC=60°, ∴CZ=

CP=t﹣2,OQ=t﹣2, ∠NOC=60°, ∴∠GPO=30°,

∴OG=OP=(4﹣t),PG=

(4﹣t),

﹣×(t﹣2)×

(4﹣t),

∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=×(t﹣2)×即S=

t﹣

2

t+.

④当t=4时,P在O点,Q在ON上,如图(3)

过C作CM⊥OB于M,CK⊥ON于K, ∵∠B=30°,由(1)知BC=2, ∴CM=BC=1, 有勾股定理得:BM=∵OB=2∴OM=2

, ﹣

=CK,

∴S=PQ×CK=×2×

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综合上述:S与t的函数关系式是:S=.

(3)解:如图(2),∵ON⊥OB, ∴∠NOB=90°,

∵∠B=30°,∠A=90°, ∴∠AOB=60°, ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=30°, ∴∠NOC=90°﹣30°=60°, ①OM=PM时, ∠MOP=∠MPO=30°,

∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠MPO=90°, ∴OP=2OQ, ∴2(t﹣2)=4﹣t, 解得:t=, ②PM=OP时,

此时∠PMO=∠MOP=30°, ∴∠MPO=120°, ∵∠QOP=60°, ∴此时不存在; ③OM=OP时, 过P作PG⊥ON于G, OP=4﹣t,∠QOP=60°, ∴∠OPG=30°,

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∴GO=(4﹣t),PG=

(4﹣t),

∵∠AOC=30°,OM=OP, ∴∠OPM=∠OMP=75°,

∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠QPO=45°, ∴PG=QG=

(4﹣t),

∵OG+QG=OQ, ∴(4﹣t)+解得:t=

(4﹣t)=t﹣2,

时,△OPM是等腰三角形.

综合上述:当t为或

【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的面积,函数自变量的取值范围,解一元一次方程,勾股定理,含30度角的直角三角形性质等知识点的运用,本题综合性比较强,难度偏大,主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力,并且运用了方程思想和分类讨论思想.

8.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC中点,DE⊥AC于点D,交BC于E,连接BD.求证:∠ABD=∠CED.

【分析】依据在△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC中点,即可得到AD=BD,进而得出∠A=∠ABD,再根据∠A=∠CED,即可得到∠ABD=∠CED. 【解答】证明:∵在△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC中点, ∴

∴AD=BD. ∴∠A=∠ABD, ∵DE⊥AC,

∴∠CED+∠C=90°. ∵∠A+∠C=90°, ∴∠A=∠CED, ∴∠ABD=∠CED.

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质,在直角三角形中,斜边上

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