其中
也等价于：
在实际的应用估计中，我们并不能够直接估计出结构性VAR方程，因为在VAR过程中所固有的反馈，直接进行估计的话，则zt与误差项?yt相关，yt与误差项?zt相关，但是标准估计要求回归变量与误差项不相关。
因为在识别结构VAR方程时，需要对估计变量进行约束，这样子也就造成了在进行标准VAR估计后，求正交化的脉冲响应函数时，进行估计的变量排列序列会造成脉冲响应函数有些区别。因为在求正交化的脉冲响应函数时，是要得到变量的独立冲击，是要求出各自的?yt和?zt以及其滞后n项。
脉冲响应函数用于衡量来自随机扰动项的冲击对内生变量当前和未来值的影响。
方差分解是将系统的预测均方误差分解成为系统中各变量冲击所做的贡献，
把系统中任意一个内生变量的波动按其成因分解为与各方程新息相关联的若干个组成部分，从而了解各新息对模型内生变量的相对重要性，即变量的贡献占总贡献的比例。
Granger非因果性检验：
（1）滞后期 k 的选取以 VAR 为依据。实际中是一个判断性问题。以 xt和 yt为例，如果xt-1对 yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。如果 xt-1对 yt不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。一般来说要试检验若干个不同滞后期 k的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。
（2）格兰杰非因果性。
（3）通常总是把 xt-1 对 yt存在非因果关系表述为 xt（去掉下标-1）对 yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。
（4）Granger非因果性检验只在平稳变量之间进行。不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验。
（5）格兰杰因果关系不是哲学概念上的因果关系。一则他表示的是 xt-1对 yt的影响。二则它只是说明 xt可以作为yt变化的预测因子。
VAR 模型的特点是：
（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在 VAR 模型中；②确定滞后期 k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。
（2）VAR 模型对参数不施加零约束。（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。）
（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR 模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。
（4）VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR 模型含有三个变量，最大滞后期 k = 3，则有 kN^2= 3×3^2= 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。
（5）无约束 VAR 模型的应用之一是预测。由于在 VAR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。
（7）VAR模型中每一个变量都必须具有平稳性。如果是非平稳的，则必须具有协整关系。
西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR 模型。
4.1 滞后阶数的选择
在VAR模型中，正确选择模型的滞后阶数对于模型估计和协整检验都产生一定的影响，在小样本中情况更是如此。Stata中varsoc命令给出了滞后阶数选择的几种标准，包括最终预测误差（Final Prediction Error,FPE）、施瓦茨信
息准则（Schwarz's Bayesian Information Criterion,SBIC）、汉南—昆（Hannan and Quinn Information Criterion,HQIC）。对于这些检验，相对于默认的算法，还有另一种算法是lutstats，其运行出来的结果有差别，但对于判断没有多大的影响。
例子：
. use http://www.stata-press.com/data/r11/lutkepohl2,clear
(Quarterly SA West German macro data, Bil DM, from Lutkepohl 1993 Table E.1)
. varsoc dln_inv dln_inc dln_consump if qtr<=tq(1978q4),lutstats
Selection-order criteria (lutstats)
Sample: 1961q2 - 1978q4 Number of obs = 71 +---------------------------------------------------------------------------+ |lag | LL LR df p FPE AIC HQIC SBIC | |----+----------------------------------------------------------------------| | 0 | 564.784 2.7e-11 -24.423 -24.423* -24.423* | | 1 | 576.409 23.249 9 0.006 2.5e-11 -24.497 -24.3829 -24.2102 | | 2 | 588.859 24.901* 9 0.003 2.3e-11* -24.5942* -24.3661 -24.0205 | | 3 | 591.237 4.7566 9 0.855 2.7e-11 -24.4076 -24.0655 -23.5472 | | 4 | 598.457 14.438 9 0.108 2.9e-11 -24.3575 -23.9012 -23.2102 | +---------------------------------------------------------------------------+ Endogenous: dln_inv dln_inc dln_consump
Exogenous: _cons
对于给定的一个p阶，LR检验将比较p阶的VAR和p-1阶的VAR。其检验的虚无假设是内生变量的第p阶系数为零。通过这一连串的LR检验来筛选阶数，我们一般从模型的最大阶数检验的结果开始，也即是表格的底部。第一个拒绝虚无假设的检验的阶数就是这个过程所选择的阶数。
对于其余的统计检验，最小阶数的确定是根据一定的判断准则来选择的，带“*”表示最适阶数。严格来讲，FPE不是一个信息判断准则，尽管我们把它加到判断中来，这是因为根据信息判断准则，我们选择的滞后长度要对应最小的值；自然，我们也想要最小化它的预测误差。AIC准则是测量设定模型和实际模型的差异，这也是我们要尽可能小的。SBIC和HQIC准则的解释与AIC很相似，但SBIC和HQIC比AIC和FPE有理论上的优势。在实际判断中，我们要根据上述的这些检验结果，尽可能的选择满足较多的检验的滞后阶数。
4.2 模型的估计
VAR模型在stata里的命令为var。其中默认的是2阶滞后。 命令格式：var depvarlist [if] [in] [,options] options包括：
noconstant 没有常数项 lags(numlist) 滞后阶数 exog(varlist) 外生变量 dfk 自由度调整
small 小样本t、F统计量
lutstats Lutkepohl滞后阶数选择统计量
例子1：
. use http://www.stata-press.com/data/r11/lutkepohl2,clear
(Quarterly SA West German macro data, Bil DM, from Lutkepohl 1993 Table E.1)
. var dln_inv dln_inc dln_consump if qtr<=tq(1978q4),lutstats dfk
Vector autoregression
Sample: 1960q4 - 1978q4 No. of obs = 73 Log likelihood = 606.307 (lutstats) AIC = -24.63163 FPE = 2.18e-11 HQIC = -24.40656 Det(Sigma_ml) = 1.23e-11 SBIC = -24.06686
Equation Parms RMSE R-sq chi2 P>chi2 ---------------------------------------------------------------- dln_inv 7 .046148 0.1286 9.736909 0.1362 dln_inc 7 .011719 0.1142 8.508289 0.2032 dln_consump 7 .009445 0.2513 22.15096 0.0011 ----------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------ | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- dln_inv | dln_inv |
L1. | -.3196318 .1254564 -2.55 0.011 -.5655218 -.0737419 L2. | -.1605508 .1249066 -1.29 0.199 -.4053633 .0842616 | dln_inc |
L1. | .1459851 .5456664 0.27 0.789 -.9235013 1.215472 L2. | .1146009 .5345709 0.21 0.830 -.9331388 1.162341 | dln_consump |
L1. | .9612288 .6643086 1.45 0.148 -.3407922 2.26325 L2. | .9344001 .6650949 1.40 0.160 -.369162 2.237962 |
_cons | -.0167221 .0172264 -0.97 0.332 -.0504852 .0170409 -------------+---------------------------------------------------------------- dln_inc | dln_inv |
L1. | .0439309 .0318592 1.38 0.168 -.018512 .1063739 L2. | .0500302 .0317196 1.58 0.115 -.0121391 .1121995 | dln_inc |
L1. | -.1527311 .1385702 -1.10 0.270 -.4243237 .1188615 L2. | .0191634 .1357525 0.14 0.888 -.2469067 .2852334 | dln_consump |
L1. | .2884992 .168699 1.71 0.087 -.0421448 .6191431 L2. | -.0102 .1688987 -0.06 0.952 -.3412354 .3208353 |