全品高考复习方案 数学(理科) RJA
课时作业(六十七)
1. 解:(1)(x- )2+(y+1)2=9可化为x2+y2-2 x+2y-5=0, 故圆C的极坐标方程为ρ2-2 ρcos θ+2ρsin θ-5=0.
(2)将θ= 代入ρ2-2 ρcos θ+2ρsin θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0.设M ,N ,
∴ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5,
∴|MN|=|ρ1-ρ2|= =2 .
2. 解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程,得x2+y2-4x-2 y+4=0,即(x-2)2+(y- )2=3.
故曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y- )2=3.
(2)直线l的极坐标方程是θ=(ρ∈R),代入曲线C的极坐标方程,得ρ2-5ρ+4=0,所以ρAρB=4,
所以|OA|·|OB|=|ρAρB|=4.
3. 解:(1)(x-2)2+y2=4可化为x2+y2-4x=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ.
设Q(ρ,θ),则P - ,则有ρ=4cos - =4sin θ,
所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ. (2)M到射线θ= (ρ>0)的距离为d=2sin = ,
|AB|=|ρB-ρA|=4 - =2 -2,
则S△MAB= |AB|·d=3- .
4. 解:(1)依题意,将 代入x2+y2+2x-4=0,可得ρ2+2ρcos θ-4=0.
将 代入y2=x,化简得ρsin2θ=cos θ.
故曲线C1的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-4=0,曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ=cos θ. (2)将y2=x代入x2+y2+2x-4=0,得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去), 当x=1时,y=±1,∴C1与C2交点的直角坐标为A(1,1),B(1,-1),
∵ρA= = ,ρB= = ,tan θA=1,tan θB=-1, ∴θA= ,θB= ,故A ,B
.
5. 解:(1)∵在极坐标系中,点M的坐标为 ,
∴x=3cos =0,y=3sin =3, ∴点M的直角坐标为(0,3), ∴直线l的方程为y=-x+3.
由ρ=2 sin ,得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0, 即(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)圆心(1,1)到直线y=-x+3的距离d= - - = , ,
∴圆上的点到直线l距离的最大值为d+R=而|AB|=2 - =2× - = ,
∴△PAB面积的最大值为 × ×
= .
6. 解:(1)曲线C1的直角坐标方程为+y2=1, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,
得曲线C1的极坐标方程为ρ2= .
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin ,
即ρ=4sin θcos+4cos θsin,
即ρ2=2ρsin θ+2 ρcos θ,
把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入, 得x2+y2=2y+2 x,
∴曲线C2的直角坐标方程为(x- )2+(y-1)2=4.
(2)曲线C2是圆心为( ,1),半径为2的圆,
∴射线OM的极坐标方程为θ= (ρ≥0),
代入ρ2= ,可得 =2. 又∠AOB= ,∴ = , ∴|AB|= = = .
7. 解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2分别代入曲线C1,C2的直角坐标方程,得
C1:ρ2+ρ2sin2θ-2=0,C2:ρ=2sin θ,
故C1的极坐标方程为ρ2= ,
C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)将θ=α(ρ≥0)代入C1的极坐标方程得|OA|2=
, 将θ=α(ρ≥0)代入C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α, 则|OA|2+|OB|2=
+4sin2α= +4(1+sin2α)-4,
令t=1+sin2α,则t∈(1,2),
则|OA|2+|OB|2= +4t-4,∵函数y= +4t-4在(1,2)上单调递增,
∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).
- 8. 解:(1)由 得
∴圆C的普通方程为(x-a)2+y2=a2,即圆心为(a,0),半径r=a. ∵ρsin =ρsin θcos +ρcos θsin =2 ,
把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.
- -
∵圆心到直线l的距离d=,∴|AB|=2 - =2 ,即a2-=2,
解得a=2或a=-10,∵0 (2)由(1)得,圆C:(x-2)2+y2=4, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-2)2+(ρsin θ)2=4, 化简得圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ. 依题意,设M(ρ1,θ1),N , 则- <θ1< ,- <θ1+ < ,∴- <θ1< , ∴|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4cos θ1+4cos =6cos θ1-2 sin θ1=4 cos , ∵- <θ1+ < ,∴|OM|+|ON|的最大值为4 . 课时作业(六十八) 1. 解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1, 将 代入x2+y2=1,得t2-4tsin φ+3=0(*), - 由16sin2φ-12>0,得|sin φ|>,又0≤φ<π, ∴φ的取值范围是 . (2)设P1(t1cos φ,-2+t1sin φ),P2(t2cos φ,-2+t2sin φ),由(1)中的(*)可知,=2sin φ, ∴可得P1P2中点的轨迹方程为 φ为参数, <φ< . - -