高三文科数学立体几何空间角专题复习

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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习

考点1:两异面直线所成的角

例1.如图所示,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点 (Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M1

AB?AC?AA1,例2.(2010全国卷1文数)直三棱柱ABC?A1B1C1中,若?BAC?90?,

则异面直线BA1与AC1所成的角等于( C )

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练:

1.(2009全国卷Ⅱ文)已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为( C )

(A)1031013 (B) (C) (D) 101055?2.如图,直三棱柱ABC?A1B1C1,?BCA?90,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,

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BC?CA?CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )

A.

3030151 B. C. D. 10102153.(2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱

ABC?A1B1C1,CA?CC1?2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

A.( )

5 5B.5 3

C.25 5C1 B1

D.

3 5C1B1NDCD1 A1 D1A1C ABA B

第3题图 第4题图 第5题图

4.(2007全国Ⅰ·文)如图,正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AA1?2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) A.

D M1 5B.

2 5C.

3 5D.

4 55.( 2012年高考(四川文理))如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M、N分别是CD、

CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________.90o

6.(2011年全国二文15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线2AE与BC所成角的余弦值为________.

3

7.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线

AB1和BM所成的角的大小是 。 8(2011年上海文)已知ABCD?A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,高AA1?2,求 (1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值;

A1D1C110(2)四面体AB1D1C的体积. 10ABDCB1学习必备 欢迎下载

考点2:直线与平面所成的角

例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( D )

(A) 3622 (B) (C) (D) 3333

例4.(2011年天津文17)如图1-7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点. (1)证明PB∥平面ACM;(2)证明AD⊥平面PAC; (3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.

图1-7图1-8

【解答】 (1)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB?平面ACM,MO?平面ACM,所以PB∥平面ACM.

(2)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.

1

(3)取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO

2

=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成

1515

的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=,所以DO=.从而AN=DO=.在Rt△ANM中,

2224

MN14545

tan∠MAN===,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

AN555

4

变式训练

9.(20008福建卷理)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D)

A.

6 3 B.

26 5 C.

15 5 D.

10 5??B?A?

第9题图 第10题图 第11题图

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