复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；
主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。
3）arg?z?与arctan之间的关系如下： 当x?0, argz?arctan；
?y?0,argz?arctan?? 当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x； y??x
yxyx4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+” 5）指数表示：z?zei?，其中??argz。 (二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
x?iy?i??x?2y?xz1x?iyxy121?11?21y?1??i222z2x2?iy?xi2y?2x?i2y?2x2y??2?21212?yy1x22x1。 22?2x2yzi???z1?1e?12? z2z22）若z1?z1ei?,z2?z2ei?, 则z1z2?z1z2ei?????；
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3.乘幂与方根
1）若z?z(cos??isin?)?zei?，则zn?z(cosn??isinn?)?zein?。 2）若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nnn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n (k?0,1,2?n?1)（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平
面上的一个点集G的映射.
2．复初等函数
指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函数）；
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?lnz???；
z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）
ez?e?zez?e?z,chz?双曲函数 shz?； 22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析?shz???chz,?chz???shz。
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（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：f??z0?=?limz?0f?z0??z??f?z0??z；
2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）
仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v?u?v?? 此时， 有f??z???i。 ?y?x?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x此时f??z???u?v?i。 ?x?x注意： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区
域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数f(z)?u?iv一定是可导或解析的。
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3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1．
复变函数积分的概念：?cf?z?dz?lim?f??k??zk，c是光滑曲线。 n??k?1n注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质
1）?f?z?dz????1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；
cc2）?[?f?z???g?z?]dz???f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；
ccc3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz。
cc1c23．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy；（常用于理论证明）
ccc2）参数方法：设曲线c： z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的起点，?对应曲线c的终点，则 ?f?z?dz??f[z?t?]z?(t)dt。
c??（七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1．柯西—古萨基本定理：
设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 ??f?z?dz?0
c2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭
曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以
c1,c2,?cn为边界的区域全含于D内，则
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① ??f?z?dz, 其中c与ck均取正向； ?f?z?dz???ck?1ckn?1c(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。 ② ?，其中由及fzdz?0c?????3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，
不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则?f?z?dz?G?z2??G?z1?z1z2(z1,z2?B)
说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5. 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，
c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则??f?z?z?z0cdz?2?if?z0?
6．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
??f?z?(z?z0)dz?n?12?i?n?f?z0?n!(n?1,2?) c其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。
7．重要结论：
?2?i,1dz??n?1??(z?a)?0,cn?0n?0。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线）
8．复变函数积分的计算方法
1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法?cf?z?dz???f[z?t?]z??t?dt 2）设f?z?在区域D内解析，
? c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，??cf?z?dz?0
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