f?z????c?mc?1m????c?c(z?z)???c(z?z)?? 010m0m(z?z0)(z?z0)（十四）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：limf?z??c0常数；
z?z02．极点：limf?z???
z?z03．本性奇点：limf?z?不存在且不为?。
z?z04．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数f?z?，如果能表示成f?z??(z?z0)m??z?， 其中??z?在z0解析，??z0??0,m为正整数，称z0为f?z?的m级零点； 2）零点级数判别的充要条件：
?n??f?z0??0,?z0是f?z?的m级零点???m?f?z0??0??(n?1,2,?m?1)
3）零点与极点的关系：z0是f?z?的m级零点?z0是4）重要结论: 若z?a分别是??z?与??z?的m级与n级零点，则 ? z?a是??z????z?的m?n级零点； ? 当m?n时，z?a是
1的m级极点； f?z???z?的m?n级零点； ??z?当m?n时，z?a是
??z?的n?m级极点； ??z???z?当m?n时，z?a是的可去奇点；
??z?? 当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，l?min(m,n) 当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，其中l?m(n) （十五）留数的概念
1．留数的定义：设z0为f?z?的孤立奇点，f?z?在z0的去心邻域0?z?z0?? - 11 -
内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称积分
f?z?在z0的留数（或残留），记作 Res[f?z?,z0]?f?z?dz为??2?ic1f?z?dz ??2?ic12．留数的计算方法
若z0是f?z?的孤立奇点，则Res[f?z?,z0]?c?1，其中c?1为f?z?在z0的
去心邻域内洛朗展开式中(z?z0)?1的系数。
1）可去奇点处的留数：若z0是f?z?的可去奇点，则Res[f?z?,z0]?0 2）m级极点处的留数 法则I
1dm?1limm?1[(z?z0)mf?z?] 若z0是f?z?的m级极点，则Res[f?z?,z0]?(m?1)!z?z0dz特别地，若z0是f?z?的一级极点，则 Res[f?z?,z0]?lim(z?z0)f?z?
z?z0注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。 法则II 设f?z??P?z?Q?z?P?z?Q?z?，P?z?,Q?z?在z0解析，P?z0??0,Q?z0??0,Q??z0??0，
P?z0? ?Q?z0?则Res[,z0]?（十六）留数基本定理
设f?z?在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2?,zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则??f?z?dz?2?i?Res[f?z?,zn]
cn?1?说明：留数定理把要求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数
f?z?在c内各孤立奇点处留数的局部问题。
- 12 -