提分专练(八) 构造辅助圆
|类型1| 根据圆的定义构造圆
1.如图T8-1,已知OA=OB=OC,且∠AOB=k∠BOC,则∠ACB是∠BAC的 倍.
图T8-1
2.如图T8-2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为 .
图T8-2
3.如图T8-3,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC= °,∠
DBC= °.
图T8-3
4.[2016·淮安] 如图T8-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边
BC上的动点,将△CEF 沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 .
图T8-4
|类型2| 三角形的外接圆
5.如图T8-5,矩形ABCG与矩形CDEF全等,AB=1,BC=3,点B,C,D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段
BD上移动,
使∠APE为直角的点P的个数是 ( ) A.0
B.1 C.2 D.3
6.已知:如图T8-6,直尺的宽度为2,A,B两点在直尺的一条边上,AB=6,C,D两点在直尺的另一条边上.若∠ACB=∠
ADB=90°,则C,D两点之间的距离为 .
图T8-6
7.如图T8-7,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是边AB上的动点,Q是边BC上的动点,且∠
CPQ=90°,则线段
CQ的取值范围是 .
图T8-7
8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛
2
物线上一点,其中n<0.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标; (2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.
|类型3| 四点共圆
(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆; (2)动点对定线段所张的角为定值.
9.在平面直角坐标系中,点A(0,2),点B(0,8),在x轴正半轴上有一点C,当∠ACB取得最大值时,则点C的坐标是 .
10.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为 .
11.[2016·宿迁] 已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针
方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点. (1)如图T8-8①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC. (2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M. ①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
图T8-8
12.[2015·淮安] 阅读理解:
如图T8-9①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE= ∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.
图T8-9
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是 ; (2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'= ;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有 个(包含四边形ABCD). 拓展提升:
当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.