初等几何研究试题答案（II）
二、关于和、差、倍、分线段（角）
1、 等腰ABC中，?A?1000,?B的平分线交AC于D，证明：
BD+AD=BC。
A241BD',
,
,
3C
证：在BC上取点D,使BD=BD,连结DD
?A?1000且
BD平分?ABC
??1?200,?C?400
又BD=BD,,??3?800,?2??C??3
??2?400
即?2??C 又
?点?DD
?CD,?DD,
?3??A?1800
A、D、D、B四点共圆且?1??4
,
，
=AD
?BC=BD
,
+CD=BD+AD
,
已知，ABCD是矩形，BC=3AB,P、Q位于BC上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC+∠DPC=∠DQC
A D B P P Q C F O E
解：作矩形BCEF与矩形ABCD相等，在EF上选取点O使得
FO=2EO.连结BO、DO。
由图可知，由BO=DO，且有△BFO≌△OED,
∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC为等腰直角三角形
∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC
3、圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于X，由X向AB、BC、CD和DA作垂线,垂足分别为A′、B′、C′和D′. 求证：A′B′+C′D′=B′C′+D′A′
D C C′ B′ X D′ A A′ B 证明：（方法一）
∵X、A′、A、D′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA′D′=∠XAD′
又∵∠XAD′=∠XBC(圆周角）
同理∠XA′B′=∠XBC,即∠XA′D′=∠XA′B′ 同理可得∠XB′A′=∠XB′C′,∠XC′B′=∠XC′D′, ∠XD′C′=∠XD′A′
∴X是四边形A′B′C′D′的内心。 ∴A′B′+C′D′=B′C′+A′D′
(方法二)利用正弦定理. 设r是四边形ABCD的外接圆
半径，A?B?在以BX为直径的圆上
?? ?A?B ?A?B??XBsin同理BC?D??XDsinD C?D??BsDin=B2rsinA sB 同理可得B?C??A?D??2rsinCsinD 又?A和?C;?B和?D是两对互补的角
?B?C ?A?B??C?D? ?D???A
4. 在梯形ABCB中，AB//CB AB=AD+DC
D C ?D=2
?B,求证
A E B
证明：在AB上取一点E，使AE=AD . ??AED=?ADE
因为AB//CD
所以?EDC=?AED 所以?AED=?ADE=?EDC 所以?ADC= 2?AED因为?D=2?B 所以?AED=?B 所以DE//CB
?四边形
DEBC是平行四边形
所以DC=EB
所以AB=AE+EB=AD+DC
5 已知：G是?ABC的重心，过G作直线分别与AB,AC交于E,F，求证：EG?2GF。
AEHGDFC
B
证明：在EF上取点D使DH//AB,故?BEG～?GDF,故G为?ABC的重心，则GH/BG=1/2=DG/EG,故EG=2DG?2GF 命题得证
6.已知：在凸四边形ABCD中，AC?BD于O，且OA>OC，OB>OD，求证：BC+AD>AB+CD
ADC1OECD1B
证明：如图做AD1=AD，BC1=BC
?AD1=AD，BC1=BC
?四边形CDC1D1是菱形，则CD=C1D1
又?在?ABE、?C1D1E中