初等几何研究试题答案(2)李长明版

(1) 先以彼此相等的三数a1-a4,a2-a5,a3-a6为边作正△PQR (2) 延长PQ至C,QR至E,使PC=a,则QC=a4,使QE=a3,则QR=a6 (3) 在PC异侧各作□ PCBA、□ QCDE

(4) 过A、E分别引QE、PA的平行线,设它们相交于F,则ABCDE

即为所求。

13设⊙O1、⊙O2和⊙O3是共点于O的三个相等的圆周,A、B、O是它们两两相交的另一点。求证:OA+OB+OC=1800

O2 CAOO1O3B

证:利用两等圆的连心垂直平分公共弦

设⊙O2、⊙O3交于A,⊙O3、⊙O2交于B,⊙O1、⊙O2交于C 再连O1O2、O2O3和O3O1,则因OB、OC分别垂直平分O3O1、O1O2, 故知∠O2O1O3=∠O3O1O+∠OO1O2=(∠BO1O+∠OO1C)

121=?OB?OC) 2

同理:∠O2=(OC?OA)

?O3?1(OA?OB) 212 所以,1800=∠O2O1O3+∠O2+∠O3=OA?OB?OC

14. 如图,设⊙O1、⊙O2、⊙O3是相等的三个圆周,⊙O1与⊙O2相交于A、A1,⊙O2与⊙O3

相交于B、B1 ,⊙O3与 ⊙O1 相交于C、C1 ,求证:

AA1?BB1?CC1?(A1B1?B1C1?C1A1)?180?

Ao2C1BA1B1o1Co3

证明:连结O1O2,O2O3和O3O1,则有 ∠O1=∠O2O1C1+∠B1O1O2﹣∠B1O1C1

=

1(∠BOB1+∠COC1)﹣∠B1O1C1 21?(BB1?CC1)?B1C12

同理

1?O2?(CC1?AA1)?C1A12

1?O3?(AA1?BB1)?A1B12

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